Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82698 / 20178
↖ ↑ ↗
← N 77.028326°
E 47.136841°		 ← 68.56 m → N 77.028326°
E 47.139588°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.027709°
E 47.136841°		 ← 68.56 m →
4 700 m²		 N 77.027709°
E 47.139588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630939483642578 y=0.153949737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630939483642578 × 217)
    floor (0.630939483642578 × 131072)
    floor (82698.5)     		tx = 82698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153949737548828 × 217)
    floor (0.153949737548828 × 131072)
    floor (20178.5)     		ty = 20178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82698 / 20178 ti = "17/82698/20178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82698/20178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82698 ÷ 217
    82698 ÷ 131072     		x = 0.630935668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20178 ÷ 217
    20178 ÷ 131072     		y = 0.153945922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630935668945312 × 2 - 1) × π
    0.261871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.82269307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153945922851562 × 2 - 1) × π
    0.692108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17432189296651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82269307} λ = 0.82269307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17432189296651))-π/2
    2×atan(8.79621832183943)-π/2
    2×1.45759711364852-π/2
    2.91519422729703-1.57079632675     		φ = 1.34439790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82269307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.136841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34439790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.028326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82698 KachelY 20178 0.82269307 1.34439790 47.136841 77.028326
    Oben rechts KachelX + 1 82699 KachelY 20178 0.82274101 1.34439790 47.139588 77.028326
    Unten links KachelX 82698 KachelY + 1 20179 0.82269307 1.34438714 47.136841 77.027709
    Unten rechts KachelX + 1 82699 KachelY + 1 20179 0.82274101 1.34438714 47.139588 77.027709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34439790-1.34438714) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dl = 68.5519599992834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34439790-1.34438714) × R
    1.07599999998875e-05 × 6371000     		dr = 68.5519599992834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82269307-0.82274101) × cos(1.34439790) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224469321733187 × 6371000     		do = 68.5587086976117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82269307-0.82274101) × cos(1.34438714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224479807137432 × 6371000     		du = 68.5619112099625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34439790)-sin(1.34438714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224469321733187-0.224479807137432)×R²
    abs(0.82274101-0.82269307)×1.04854042450864e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04854042450864e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04854042450864e-05×40589641000000     		ar = 4699.9436256881m²