Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82681 / 20143
N 77.049887°
E 47.090149°
← 68.45 m → N 77.049887°
E 47.092895°

68.49 m

68.49 m
N 77.049271°
E 47.090149°
← 68.45 m →
4 688 m²
N 77.049271°
E 47.092895°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630809783935547 y=0.153682708740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630809783935547 × 217)
    floor (0.630809783935547 × 131072)
    floor (82681.5)
    tx = 82681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153682708740234 × 217)
    floor (0.153682708740234 × 131072)
    floor (20143.5)
    ty = 20143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82681 / 20143 ti = "17/82681/20143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82681/20143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82681 ÷ 217
    82681 ÷ 131072
    x = 0.630805969238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20143 ÷ 217
    20143 ÷ 131072
    y = 0.153678894042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.630805969238281 × 2 - 1) × π
    0.261611938476562 × 3.1415926535
    Λ = 0.82187814
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.153678894042969 × 2 - 1) × π
    0.692642211914062 × 3.1415926535
    Φ = 2.17599968445321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82187814} λ = 0.82187814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17599968445321))-π/2
    2×atan(8.81098892959003)-π/2
    2×1.45778526614783-π/2
    2.91557053229567-1.57079632675
    φ = 1.34477421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82187814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.090149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34477421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.049887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82681 KachelY 20143 0.82187814 1.34477421 47.090149 77.049887
    Oben rechts KachelX + 1 82682 KachelY 20143 0.82192608 1.34477421 47.092895 77.049887
    Unten links KachelX 82681 KachelY + 1 20144 0.82187814 1.34476346 47.090149 77.049271
    Unten rechts KachelX + 1 82682 KachelY + 1 20144 0.82192608 1.34476346 47.092895 77.049271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.34477421-1.34476346) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000
    dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.34477421-1.34476346) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000
    dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.82187814-0.82192608) × cos(1.34477421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224102598844526 × 6371000
    do = 68.4467020879677m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.82187814-0.82192608) × cos(1.34476346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224113075411317 × 6371000
    du = 68.4499019011323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.34477421)-sin(1.34476346))×
    abs(λ12)×abs(0.224102598844526-0.224113075411317)×
    abs(0.82192608-0.82187814)×1.04765667902074e-05×
    4.79399999999686e-05×1.04765667902074e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04765667902074e-05×40589641000000
    ar = 4687.90441923541m²