Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82674 / 20145
↖ ↑ ↗
← N 77.048655°
E 47.070923°		 ← 68.44 m → N 77.048655°
E 47.073669°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.048039°
E 47.070923°		 ← 68.44 m →
4 687 m²		 N 77.048039°
E 47.073669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630756378173828 y=0.153697967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630756378173828 × 217)
    floor (0.630756378173828 × 131072)
    floor (82674.5)     		tx = 82674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153697967529297 × 217)
    floor (0.153697967529297 × 131072)
    floor (20145.5)     		ty = 20145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82674 / 20145 ti = "17/82674/20145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82674/20145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82674 ÷ 217
    82674 ÷ 131072     		x = 0.630752563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20145 ÷ 217
    20145 ÷ 131072     		y = 0.153694152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630752563476562 × 2 - 1) × π
    0.261505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82154259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153694152832031 × 2 - 1) × π
    0.692611694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.17590381065397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82154259} λ = 0.82154259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17590381065397))-π/2
    2×atan(8.81014422709936)-π/2
    2×1.45777452286195-π/2
    2.91554904572389-1.57079632675     		φ = 1.34475272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82154259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.070923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34475272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.048655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82674 KachelY 20145 0.82154259 1.34475272 47.070923 77.048655
    Oben rechts KachelX + 1 82675 KachelY 20145 0.82159052 1.34475272 47.073669 77.048655
    Unten links KachelX 82674 KachelY + 1 20146 0.82154259 1.34474197 47.070923 77.048039
    Unten rechts KachelX + 1 82675 KachelY + 1 20146 0.82159052 1.34474197 47.073669 77.048039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34475272-1.34474197) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34475272-1.34474197) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82154259-0.82159052) × cos(1.34475272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2241235422066 × 6371000     		do = 68.43881981904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82154259-0.82159052) × cos(1.34474197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224134018721615 × 6371000     		du = 68.4420189489324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34475272)-sin(1.34474197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2241235422066-0.224134018721615)×R²
    abs(0.82159052-0.82154259)×1.04765150149844e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04765150149844e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04765150149844e-05×40589641000000     		ar = 4687.36455289799m²