Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82674 / 16253
↖ ↑ ↗
← N 79.238723°
E 47.070923°		 ← 57.02 m → N 79.238723°
E 47.073669°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.238211°
E 47.070923°		 ← 57.02 m →
3 251 m²		 N 79.238211°
E 47.073669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630756378173828 y=0.124004364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630756378173828 × 217)
    floor (0.630756378173828 × 131072)
    floor (82674.5)     		tx = 82674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124004364013672 × 217)
    floor (0.124004364013672 × 131072)
    floor (16253.5)     		ty = 16253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82674 / 16253 ti = "17/82674/16253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82674/16253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82674 ÷ 217
    82674 ÷ 131072     		x = 0.630752563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16253 ÷ 217
    16253 ÷ 131072     		y = 0.124000549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630752563476562 × 2 - 1) × π
    0.261505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82154259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124000549316406 × 2 - 1) × π
    0.751998901367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36247422397523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82154259} λ = 0.82154259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36247422397523))-π/2
    2×atan(10.6171882829507)-π/2
    2×1.47688647450278-π/2
    2.95377294900555-1.57079632675     		φ = 1.38297662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82154259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.070923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38297662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.238723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82674 KachelY 16253 0.82154259 1.38297662 47.070923 79.238723
    Oben rechts KachelX + 1 82675 KachelY 16253 0.82159052 1.38297662 47.073669 79.238723
    Unten links KachelX 82674 KachelY + 1 16254 0.82154259 1.38296767 47.070923 79.238211
    Unten rechts KachelX + 1 82675 KachelY + 1 16254 0.82159052 1.38296767 47.073669 79.238211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38297662-1.38296767) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38297662-1.38296767) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82154259-0.82159052) × cos(1.38297662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186717390624555 × 6371000     		do = 57.0164014374519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82154259-0.82159052) × cos(1.38296767) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186726183219409 × 6371000     		du = 57.0190863620657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38297662)-sin(1.38296767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186717390624555-0.186726183219409)×R²
    abs(0.82159052-0.82154259)×8.79259485464523e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.79259485464523e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.79259485464523e-06×40589641000000     		ar = 3251.17741513434m²