Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82670 / 16097
↖ ↑ ↗
← N 79.318433°
E 47.059937°		 ← 56.60 m → N 79.318433°
E 47.062683°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.317923°
E 47.059937°		 ← 56.60 m →
3 206 m²		 N 79.317923°
E 47.062683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630725860595703 y=0.122814178466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630725860595703 × 217)
    floor (0.630725860595703 × 131072)
    floor (82670.5)     		tx = 82670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122814178466797 × 217)
    floor (0.122814178466797 × 131072)
    floor (16097.5)     		ty = 16097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82670 / 16097 ti = "17/82670/16097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82670/16097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82670 ÷ 217
    82670 ÷ 131072     		x = 0.630722045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16097 ÷ 217
    16097 ÷ 131072     		y = 0.122810363769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630722045898438 × 2 - 1) × π
    0.261444091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82135084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122810363769531 × 2 - 1) × π
    0.754379272460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.36995238031596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82135084} λ = 0.82135084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36995238031596))-π/2
    2×atan(10.6968828897991)-π/2
    2×1.47758206692514-π/2
    2.95516413385029-1.57079632675     		φ = 1.38436781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82135084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.059937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38436781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.318433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82670 KachelY 16097 0.82135084 1.38436781 47.059937 79.318433
    Oben rechts KachelX + 1 82671 KachelY 16097 0.82139877 1.38436781 47.062683 79.318433
    Unten links KachelX 82670 KachelY + 1 16098 0.82135084 1.38435892 47.059937 79.317923
    Unten rechts KachelX + 1 82671 KachelY + 1 16098 0.82139877 1.38435892 47.062683 79.317923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38436781-1.38435892) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38436781-1.38435892) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82135084-0.82139877) × cos(1.38436781) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185350486306661 × 6371000     		do = 56.5990007599926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82135084-0.82139877) × cos(1.38435892) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185359222257658 × 6371000     		du = 56.6016683877231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38436781)-sin(1.38435892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185350486306661-0.185359222257658)×R²
    abs(0.82139877-0.82135084)×8.73595099701308e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.73595099701308e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.73595099701308e-06×40589641000000     		ar = 3205.74050374689m²