Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8267 / 24931
↖ ↑ ↗
← N 39.491325°
W134.588013°		 ← 471.41 m → N 39.491325°
W134.582519°		 →
↑
471.45 m
↓
↑
471.45 m
↓
N 39.487085°
W134.588013°		 ← 471.44 m →
222 253 m²		 N 39.487085°
W134.582519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126152038574219 y=0.380424499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126152038574219 × 216)
    floor (0.126152038574219 × 65536)
    floor (8267.5)     		tx = 8267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380424499511719 × 216)
    floor (0.380424499511719 × 65536)
    floor (24931.5)     		ty = 24931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8267 / 24931 ti = "16/8267/24931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8267/24931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8267 ÷ 216
    8267 ÷ 65536     		x = 0.126144409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24931 ÷ 216
    24931 ÷ 65536     		y = 0.380416870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.747711181640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34900396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380416870117188 × 2 - 1) × π
    0.239166259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.75136296464476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34900396} λ = -2.34900396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75136296464476))-π/2
    2×atan(2.11988738002842)-π/2
    2×1.13002498089638-π/2
    2.26004996179275-1.57079632675     		φ = 0.68925364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34900396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.588013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68925364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.491325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8267 KachelY 24931 -2.34900396 0.68925364 -134.588013 39.491325
    Oben rechts KachelX + 1 8268 KachelY 24931 -2.34890808 0.68925364 -134.582519 39.491325
    Unten links KachelX 8267 KachelY + 1 24932 -2.34900396 0.68917964 -134.588013 39.487085
    Unten rechts KachelX + 1 8268 KachelY + 1 24932 -2.34890808 0.68917964 -134.582519 39.487085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68925364-0.68917964) × R
    7.40000000000185e-05 × 6371000     		dl = 471.454000000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68925364-0.68917964) × R
    7.40000000000185e-05 × 6371000     		dr = 471.454000000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34900396--2.34890808) × cos(0.68925364) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771720886031782 × 6371000     		do = 471.406845379116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34900396--2.34890808) × cos(0.68917964) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771767945060725 × 6371000     		du = 471.435591456594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68925364)-sin(0.68917964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771720886031782-0.771767945060725)×R²
    abs(-2.34890808--2.34900396)×4.70590289430861e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70590289430861e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70590289430861e-05×40589641000000     		ar = 222253.419209358m²