Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82668 / 19886
↖ ↑ ↗
← N 77.207128°
E 47.054443°		 ← 67.63 m → N 77.207128°
E 47.057190°		 →
↑
67.66 m
↓
↑
67.66 m
↓
N 77.206520°
E 47.054443°		 ← 67.63 m →
4 576 m²		 N 77.206520°
E 47.057190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630710601806641 y=0.151721954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630710601806641 × 217)
    floor (0.630710601806641 × 131072)
    floor (82668.5)     		tx = 82668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151721954345703 × 217)
    floor (0.151721954345703 × 131072)
    floor (19886.5)     		ty = 19886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82668 / 19886 ti = "17/82668/19886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82668/19886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82668 ÷ 217
    82668 ÷ 131072     		x = 0.630706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19886 ÷ 217
    19886 ÷ 131072     		y = 0.151718139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630706787109375 × 2 - 1) × π
    0.26141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82125496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151718139648438 × 2 - 1) × π
    0.696563720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18831946765556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82125496} λ = 0.82125496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18831946765556))-π/2
    2×atan(8.92020981035519)-π/2
    2×1.4591574581016-π/2
    2.9183149162032-1.57079632675     		φ = 1.34751859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82125496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.054443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34751859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.207128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82668 KachelY 19886 0.82125496 1.34751859 47.054443 77.207128
    Oben rechts KachelX + 1 82669 KachelY 19886 0.82130290 1.34751859 47.057190 77.207128
    Unten links KachelX 82668 KachelY + 1 19887 0.82125496 1.34750797 47.054443 77.206520
    Unten rechts KachelX + 1 82669 KachelY + 1 19887 0.82130290 1.34750797 47.057190 77.206520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34751859-1.34750797) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dl = 67.6600199990456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34751859-1.34750797) × R
    1.06199999998502e-05 × 6371000     		dr = 67.6600199990456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82125496-0.82130290) × cos(1.34751859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221427180050645 × 6371000     		do = 67.6295603230372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82125496-0.82130290) × cos(1.34750797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.221437536416932 × 6371000     		du = 67.6327234238741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34751859)-sin(1.34750797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221427180050645-0.221437536416932)×R²
    abs(0.82130290-0.82125496)×1.03563662869621e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03563662869621e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03563662869621e-05×40589641000000     		ar = 4575.92441172344m²