Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82662 / 16236
↖ ↑ ↗
← N 79.247438°
E 47.037964°		 ← 56.98 m → N 79.247438°
E 47.040710°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.246926°
E 47.037964°		 ← 56.99 m →
3 246 m²		 N 79.246926°
E 47.040710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630664825439453 y=0.123874664306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630664825439453 × 217)
    floor (0.630664825439453 × 131072)
    floor (82662.5)     		tx = 82662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123874664306641 × 217)
    floor (0.123874664306641 × 131072)
    floor (16236.5)     		ty = 16236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82662 / 16236 ti = "17/82662/16236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82662/16236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82662 ÷ 217
    82662 ÷ 131072     		x = 0.630661010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16236 ÷ 217
    16236 ÷ 131072     		y = 0.123870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630661010742188 × 2 - 1) × π
    0.261322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82096734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123870849609375 × 2 - 1) × π
    0.75225830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36328915126877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82096734} λ = 0.82096734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36328915126877))-π/2
    2×atan(10.6258440458929)-π/2
    2×1.47696252460374-π/2
    2.95392504920749-1.57079632675     		φ = 1.38312872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82096734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.037964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38312872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.247438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82662 KachelY 16236 0.82096734 1.38312872 47.037964 79.247438
    Oben rechts KachelX + 1 82663 KachelY 16236 0.82101528 1.38312872 47.040710 79.247438
    Unten links KachelX 82662 KachelY + 1 16237 0.82096734 1.38311978 47.037964 79.246926
    Unten rechts KachelX + 1 82663 KachelY + 1 16237 0.82101528 1.38311978 47.040710 79.246926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38312872-1.38311978) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38312872-1.38311978) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82096734-0.82101528) × cos(1.38312872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186567963346355 × 6371000     		do = 56.982658265316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82096734-0.82101528) × cos(1.38311978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.186576746370888 × 6371000     		du = 56.9853408270833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38312872)-sin(1.38311978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186567963346355-0.186576746370888)×R²
    abs(0.82101528-0.82096734)×8.78302453252711e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.78302453252711e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.78302453252711e-06×40589641000000     		ar = 3245.6228462693m²