Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8266 / 9508
↖ ↑ ↗
← S 27.761330°
E  1.625976°		 ← 2 162.05 m → S 27.761330°
E  1.647949°		 →
↑
2 161.81 m
↓
↑
2 161.81 m
↓
S 27.780771°
E  1.625976°		 ← 2 161.66 m →
4 673 511 m²		 S 27.780771°
E  1.647949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504547119140625 y=0.580352783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504547119140625 × 214)
    floor (0.504547119140625 × 16384)
    floor (8266.5)     		tx = 8266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580352783203125 × 214)
    floor (0.580352783203125 × 16384)
    floor (9508.5)     		ty = 9508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8266 / 9508 ti = "14/8266/9508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8266/9508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8266 ÷ 214
    8266 ÷ 16384     		x = 0.5045166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9508 ÷ 214
    9508 ÷ 16384     		y = 0.580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5045166015625 × 2 - 1) × π
    0.009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02837864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.16064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.504679679199951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02837864} λ = 0.02837864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504679679199951))-π/2
    2×atan(0.603698921780571)-π/2
    2×0.54313485788264-π/2
    1.08626971576528-1.57079632675     		φ = -0.48452661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02837864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.625976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48452661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.761330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8266 KachelY 9508 0.02837864 -0.48452661 1.625976 -27.761330
    Oben rechts KachelX + 1 8267 KachelY 9508 0.02876214 -0.48452661 1.647949 -27.761330
    Unten links KachelX 8266 KachelY + 1 9509 0.02837864 -0.48486593 1.625976 -27.780771
    Unten rechts KachelX + 1 8267 KachelY + 1 9509 0.02876214 -0.48486593 1.647949 -27.780771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48452661--0.48486593) × R
    0.000339319999999976 × 6371000     		dl = 2161.80771999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48452661--0.48486593) × R
    0.000339319999999976 × 6371000     		dr = 2161.80771999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02837864-0.02876214) × cos(-0.48452661) × R
    0.000383499999999998 × 0.884895548348582 × 6371000     		do = 2162.04626802579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02837864-0.02876214) × cos(-0.48486593) × R
    0.000383499999999998 × 0.88473744571218 × 6371000     		du = 2161.65997925348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48452661)-sin(-0.48486593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884895548348582-0.88473744571218)×R²
    abs(0.02876214-0.02837864)×0.000158102636402147×R²
    0.000383499999999998×0.000158102636402147×6371000²
    0.000383499999999998×0.000158102636402147×40589641000000     		ar = 4673510.81703196m²