Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82658 / 16030
↖ ↑ ↗
← N 79.352487°
E 47.026978°		 ← 56.42 m → N 79.352487°
E 47.029724°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.351979°
E 47.026978°		 ← 56.42 m →
3 185 m²		 N 79.351979°
E 47.029724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630634307861328 y=0.122303009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630634307861328 × 217)
    floor (0.630634307861328 × 131072)
    floor (82658.5)     		tx = 82658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122303009033203 × 217)
    floor (0.122303009033203 × 131072)
    floor (16030.5)     		ty = 16030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82658 / 16030 ti = "17/82658/16030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82658/16030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82658 ÷ 217
    82658 ÷ 131072     		x = 0.630630493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16030 ÷ 217
    16030 ÷ 131072     		y = 0.122299194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630630493164062 × 2 - 1) × π
    0.261260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82077560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122299194335938 × 2 - 1) × π
    0.755401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3731641525905
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82077560} λ = 0.82077560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3731641525905))-π/2
    2×atan(10.7312940725493)-π/2
    2×1.47787924947014-π/2
    2.95575849894028-1.57079632675     		φ = 1.38496217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82077560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.026978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38496217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.352487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82658 KachelY 16030 0.82077560 1.38496217 47.026978 79.352487
    Oben rechts KachelX + 1 82659 KachelY 16030 0.82082353 1.38496217 47.029724 79.352487
    Unten links KachelX 82658 KachelY + 1 16031 0.82077560 1.38495331 47.026978 79.351979
    Unten rechts KachelX + 1 82659 KachelY + 1 16031 0.82082353 1.38495331 47.029724 79.351979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38496217-1.38495331) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dl = 56.4470600007037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38496217-1.38495331) × R
    8.86000000011045e-06 × 6371000     		dr = 56.4470600007037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82077560-0.82082353) × cos(1.38496217) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184766392388758 × 6371000     		do = 56.4206406555116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82077560-0.82082353) × cos(1.38495331) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.184775099834176 × 6371000     		du = 56.4232995787206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38496217)-sin(1.38495331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184766392388758-0.184775099834176)×R²
    abs(0.82082353-0.82077560)×8.70744541819901e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.70744541819901e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.70744541819901e-06×40589641000000     		ar = 3184.85433244906m²