Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82657 / 16223
↖ ↑ ↗
← N 79.254098°
E 47.024231°		 ← 56.95 m → N 79.254098°
E 47.026978°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.253585°
E 47.024231°		 ← 56.95 m →
3 244 m²		 N 79.253585°
E 47.026978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630626678466797 y=0.123775482177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630626678466797 × 217)
    floor (0.630626678466797 × 131072)
    floor (82657.5)     		tx = 82657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123775482177734 × 217)
    floor (0.123775482177734 × 131072)
    floor (16223.5)     		ty = 16223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82657 / 16223 ti = "17/82657/16223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82657/16223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82657 ÷ 217
    82657 ÷ 131072     		x = 0.630622863769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16223 ÷ 217
    16223 ÷ 131072     		y = 0.123771667480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630622863769531 × 2 - 1) × π
    0.261245727539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.82072766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123771667480469 × 2 - 1) × π
    0.752456665039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.36391233096383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82072766} λ = 0.82072766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36391233096383))-π/2
    2×atan(10.6324679198627)-π/2
    2×1.47702063949424-π/2
    2.95404127898848-1.57079632675     		φ = 1.38324495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82072766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.024231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38324495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.254098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82657 KachelY 16223 0.82072766 1.38324495 47.024231 79.254098
    Oben rechts KachelX + 1 82658 KachelY 16223 0.82077560 1.38324495 47.026978 79.254098
    Unten links KachelX 82657 KachelY + 1 16224 0.82072766 1.38323601 47.024231 79.253585
    Unten rechts KachelX + 1 82658 KachelY + 1 16224 0.82077560 1.38323601 47.026978 79.253585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38324495-1.38323601) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38324495-1.38323601) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82072766-0.82077560) × cos(1.38324495) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186453772846134 × 6371000     		do = 56.9477815474168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82072766-0.82077560) × cos(1.38323601) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.186462556064473 × 6371000     		du = 56.9504641683778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38324495)-sin(1.38323601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186453772846134-0.186462556064473)×R²
    abs(0.82077560-0.82072766)×8.7832183396086e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.7832183396086e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.7832183396086e-06×40589641000000     		ar = 3243.63638386598m²