Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82656 / 14805
↖ ↑ ↗
← N 79.956536°
E 47.021484°		 ← 53.26 m → N 79.956536°
E 47.024231°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.956057°
E 47.021484°		 ← 53.27 m →
2 837 m²		 N 79.956057°
E 47.024231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630619049072266 y=0.112957000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630619049072266 × 217)
    floor (0.630619049072266 × 131072)
    floor (82656.5)     		tx = 82656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112957000732422 × 217)
    floor (0.112957000732422 × 131072)
    floor (14805.5)     		ty = 14805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82656 / 14805 ti = "17/82656/14805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82656/14805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82656 ÷ 217
    82656 ÷ 131072     		x = 0.630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14805 ÷ 217
    14805 ÷ 131072     		y = 0.112953186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630615234375 × 2 - 1) × π
    0.26123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82067972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112953186035156 × 2 - 1) × π
    0.774093627929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.43188685462507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82067972} λ = 0.82067972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43188685462507))-π/2
    2×atan(11.3803348719749)-π/2
    2×1.48315056716891-π/2
    2.96630113433781-1.57079632675     		φ = 1.39550481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82067972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39550481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.956536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82656 KachelY 14805 0.82067972 1.39550481 47.021484 79.956536
    Oben rechts KachelX + 1 82657 KachelY 14805 0.82072766 1.39550481 47.024231 79.956536
    Unten links KachelX 82656 KachelY + 1 14806 0.82067972 1.39549645 47.021484 79.956057
    Unten rechts KachelX + 1 82657 KachelY + 1 14806 0.82072766 1.39549645 47.024231 79.956057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39550481-1.39549645) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39550481-1.39549645) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82067972-0.82072766) × cos(1.39550481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174395194515969 × 6371000     		do = 53.2647813374488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82067972-0.82072766) × cos(1.39549645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174403426399074 × 6371000     		du = 53.2672955664379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39550481)-sin(1.39549645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174395194515969-0.174403426399074)×R²
    abs(0.82072766-0.82067972)×8.23188310566936e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23188310566936e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23188310566936e-06×40589641000000     		ar = 2837.03230285219m²