Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82655 / 19361
↖ ↑ ↗
← N 77.522528°
E 47.018738°		 ← 65.99 m → N 77.522528°
E 47.021484°		 →
↑
65.94 m
↓
↑
65.94 m
↓
N 77.521935°
E 47.018738°		 ← 65.99 m →
4 351 m²		 N 77.521935°
E 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630611419677734 y=0.147716522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630611419677734 × 217)
    floor (0.630611419677734 × 131072)
    floor (82655.5)     		tx = 82655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147716522216797 × 217)
    floor (0.147716522216797 × 131072)
    floor (19361.5)     		ty = 19361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82655 / 19361 ti = "17/82655/19361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82655/19361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82655 ÷ 217
    82655 ÷ 131072     		x = 0.630607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19361 ÷ 217
    19361 ÷ 131072     		y = 0.147712707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630607604980469 × 2 - 1) × π
    0.261215209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.82063178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147712707519531 × 2 - 1) × π
    0.704574584960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21348633995609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82063178} λ = 0.82063178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21348633995609))-π/2
    2×atan(9.14755234255518)-π/2
    2×1.46190984582288-π/2
    2.92381969164575-1.57079632675     		φ = 1.35302336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82063178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.018738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35302336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.522528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82655 KachelY 19361 0.82063178 1.35302336 47.018738 77.522528
    Oben rechts KachelX + 1 82656 KachelY 19361 0.82067972 1.35302336 47.021484 77.522528
    Unten links KachelX 82655 KachelY + 1 19362 0.82063178 1.35301301 47.018738 77.521935
    Unten rechts KachelX + 1 82656 KachelY + 1 19362 0.82067972 1.35301301 47.021484 77.521935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35302336-1.35301301) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dl = 65.9398499995973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35302336-1.35301301) × R
    1.03499999999368e-05 × 6371000     		dr = 65.9398499995973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82063178-0.82067972) × cos(1.35302336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216055727678972 × 6371000     		do = 65.9889805075452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82063178-0.82067972) × cos(1.35301301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.216065833211096 × 6371000     		du = 65.9920669971722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35302336)-sin(1.35301301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216055727678972-0.216065833211096)×R²
    abs(0.82067972-0.82063178)×1.01055321240495e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.01055321240495e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.01055321240495e-05×40589641000000     		ar = 4351.40523781534m²