Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82655 / 14799
↖ ↑ ↗
← N 79.959409°
E 47.018738°		 ← 53.25 m → N 79.959409°
E 47.021484°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.958930°
E 47.018738°		 ← 53.25 m →
2 836 m²		 N 79.958930°
E 47.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630611419677734 y=0.112911224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630611419677734 × 217)
    floor (0.630611419677734 × 131072)
    floor (82655.5)     		tx = 82655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112911224365234 × 217)
    floor (0.112911224365234 × 131072)
    floor (14799.5)     		ty = 14799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82655 / 14799 ti = "17/82655/14799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82655/14799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82655 ÷ 217
    82655 ÷ 131072     		x = 0.630607604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14799 ÷ 217
    14799 ÷ 131072     		y = 0.112907409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630607604980469 × 2 - 1) × π
    0.261215209960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.82063178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112907409667969 × 2 - 1) × π
    0.774185180664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.43217447602279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82063178} λ = 0.82063178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43217447602279))-π/2
    2×atan(11.3836085705676)-π/2
    2×1.48317564351289-π/2
    2.96635128702579-1.57079632675     		φ = 1.39555496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82063178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.018738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39555496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.959409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82655 KachelY 14799 0.82063178 1.39555496 47.018738 79.959409
    Oben rechts KachelX + 1 82656 KachelY 14799 0.82067972 1.39555496 47.021484 79.959409
    Unten links KachelX 82655 KachelY + 1 14800 0.82063178 1.39554660 47.018738 79.958930
    Unten rechts KachelX + 1 82656 KachelY + 1 14800 0.82067972 1.39554660 47.021484 79.958930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39555496-1.39554660) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dl = 53.2615599988437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39555496-1.39554660) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dr = 53.2615599988437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82063178-0.82067972) × cos(1.39555496) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174345812808244 × 6371000     		do = 53.2496988928244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82063178-0.82067972) × cos(1.39554660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174354044764456 × 6371000     		du = 53.2522131441423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39555496)-sin(1.39554660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174345812808244-0.174354044764456)×R²
    abs(0.82067972-0.82063178)×8.23195621268979e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23195621268979e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23195621268979e-06×40589641000000     		ar = 2836.22898892029m²