Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82654 / 19363
↖ ↑ ↗
← N 77.521342°
E 47.015991°		 ← 65.98 m → N 77.521342°
E 47.018738°		 →
↑
66 m
↓
↑
66 m
↓
N 77.520748°
E 47.015991°		 ← 65.98 m →
4 355 m²		 N 77.520748°
E 47.018738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630603790283203 y=0.147731781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630603790283203 × 217)
    floor (0.630603790283203 × 131072)
    floor (82654.5)     		tx = 82654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147731781005859 × 217)
    floor (0.147731781005859 × 131072)
    floor (19363.5)     		ty = 19363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82654 / 19363 ti = "17/82654/19363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82654/19363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82654 ÷ 217
    82654 ÷ 131072     		x = 0.630599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19363 ÷ 217
    19363 ÷ 131072     		y = 0.147727966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    0.261199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82058385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147727966308594 × 2 - 1) × π
    0.704544067382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.21339046615685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82058385} λ = 0.82058385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21339046615685))-π/2
    2×atan(9.14667537399818)-π/2
    2×1.4618994882966-π/2
    2.9237989765932-1.57079632675     		φ = 1.35300265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82058385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35300265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.521342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82654 KachelY 19363 0.82058385 1.35300265 47.015991 77.521342
    Oben rechts KachelX + 1 82655 KachelY 19363 0.82063178 1.35300265 47.018738 77.521342
    Unten links KachelX 82654 KachelY + 1 19364 0.82058385 1.35299229 47.015991 77.520748
    Unten rechts KachelX + 1 82655 KachelY + 1 19364 0.82063178 1.35299229 47.018738 77.520748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35300265-1.35299229) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dl = 66.0035600006248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35300265-1.35299229) × R
    1.03600000000981e-05 × 6371000     		dr = 66.0035600006248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.35300265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21607594848384 × 6371000     		do = 65.9813902632412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.35299229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.216086063733393 × 6371000     		du = 65.9844790763786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35300265)-sin(1.35299229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21607594848384-0.216086063733393)×R²
    abs(0.82063178-0.82058385)×1.01152495529666e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.01152495529666e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.01152495529666e-05×40589641000000     		ar = 4355.10858753289m²