Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82654 / 16214
↖ ↑ ↗
← N 79.258706°
E 47.015991°		 ← 56.91 m → N 79.258706°
E 47.018738°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.258194°
E 47.015991°		 ← 56.91 m →
3 242 m²		 N 79.258194°
E 47.018738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630603790283203 y=0.123706817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630603790283203 × 217)
    floor (0.630603790283203 × 131072)
    floor (82654.5)     		tx = 82654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123706817626953 × 217)
    floor (0.123706817626953 × 131072)
    floor (16214.5)     		ty = 16214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82654 / 16214 ti = "17/82654/16214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82654/16214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82654 ÷ 217
    82654 ÷ 131072     		x = 0.630599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16214 ÷ 217
    16214 ÷ 131072     		y = 0.123703002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    0.261199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82058385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123703002929688 × 2 - 1) × π
    0.752593994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36434376306041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82058385} λ = 0.82058385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36434376306041))-π/2
    2×atan(10.6370560974615)-π/2
    2×1.47706085204182-π/2
    2.95412170408365-1.57079632675     		φ = 1.38332538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82058385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38332538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.258706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82654 KachelY 16214 0.82058385 1.38332538 47.015991 79.258706
    Oben rechts KachelX + 1 82655 KachelY 16214 0.82063178 1.38332538 47.018738 79.258706
    Unten links KachelX 82654 KachelY + 1 16215 0.82058385 1.38331644 47.015991 79.258194
    Unten rechts KachelX + 1 82655 KachelY + 1 16215 0.82063178 1.38331644 47.018738 79.258194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38332538-1.38331644) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38332538-1.38331644) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.38332538) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186374752684929 × 6371000     		do = 56.9117728206528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.38331644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186383536037312 × 6371000     		du = 56.9144549229667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38332538)-sin(1.38331644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186374752684929-0.186383536037312)×R²
    abs(0.82063178-0.82058385)×8.78335238307937e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.78335238307937e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.78335238307937e-06×40589641000000     		ar = 3241.58542954097m²