Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82654 / 14786
↖ ↑ ↗
← N 79.965633°
E 47.015991°		 ← 53.21 m → N 79.965633°
E 47.018738°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.965154°
E 47.015991°		 ← 53.21 m →
2 834 m²		 N 79.965154°
E 47.018738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630603790283203 y=0.112812042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630603790283203 × 217)
    floor (0.630603790283203 × 131072)
    floor (82654.5)     		tx = 82654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112812042236328 × 217)
    floor (0.112812042236328 × 131072)
    floor (14786.5)     		ty = 14786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82654 / 14786 ti = "17/82654/14786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82654/14786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82654 ÷ 217
    82654 ÷ 131072     		x = 0.630599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14786 ÷ 217
    14786 ÷ 131072     		y = 0.112808227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630599975585938 × 2 - 1) × π
    0.261199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.82058385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112808227539062 × 2 - 1) × π
    0.774383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43279765571785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82058385} λ = 0.82058385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43279765571785))-π/2
    2×atan(11.3907048151734)-π/2
    2×1.48322995123367-π/2
    2.96645990246734-1.57079632675     		φ = 1.39566358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82058385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.015991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39566358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.965633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82654 KachelY 14786 0.82058385 1.39566358 47.015991 79.965633
    Oben rechts KachelX + 1 82655 KachelY 14786 0.82063178 1.39566358 47.018738 79.965633
    Unten links KachelX 82654 KachelY + 1 14787 0.82058385 1.39565522 47.015991 79.965154
    Unten rechts KachelX + 1 82655 KachelY + 1 14787 0.82063178 1.39565522 47.018738 79.965154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39566358-1.39565522) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dl = 53.2615599988437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39566358-1.39565522) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dr = 53.2615599988437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.39566358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17423885535106 × 6371000     		do = 53.2059305749085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82058385-0.82063178) × cos(1.39565522) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174247087465545 × 6371000     		du = 53.2084443500988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39566358)-sin(1.39565522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17423885535106-0.174247087465545)×R²
    abs(0.82063178-0.82058385)×8.2321144848907e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.2321144848907e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.2321144848907e-06×40589641000000     		ar = 2833.89780744416m²