Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82653 / 20238
↖ ↑ ↗
← N 76.991282°
E 47.013245°		 ← 68.75 m → N 76.991282°
E 47.015991°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.990664°
E 47.013245°		 ← 68.75 m →
4 726 m²		 N 76.990664°
E 47.015991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630596160888672 y=0.154407501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630596160888672 × 217)
    floor (0.630596160888672 × 131072)
    floor (82653.5)     		tx = 82653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154407501220703 × 217)
    floor (0.154407501220703 × 131072)
    floor (20238.5)     		ty = 20238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82653 / 20238 ti = "17/82653/20238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82653/20238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82653 ÷ 217
    82653 ÷ 131072     		x = 0.630592346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20238 ÷ 217
    20238 ÷ 131072     		y = 0.154403686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630592346191406 × 2 - 1) × π
    0.261184692382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.82053591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154403686523438 × 2 - 1) × π
    0.691192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.1714456789893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82053591} λ = 0.82053591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1714456789893))-π/2
    2×atan(8.77095486472607)-π/2
    2×1.45727384995863-π/2
    2.91454769991727-1.57079632675     		φ = 1.34375137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82053591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.013245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34375137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.991282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82653 KachelY 20238 0.82053591 1.34375137 47.013245 76.991282
    Oben rechts KachelX + 1 82654 KachelY 20238 0.82058385 1.34375137 47.015991 76.991282
    Unten links KachelX 82653 KachelY + 1 20239 0.82053591 1.34374058 47.013245 76.990664
    Unten rechts KachelX + 1 82654 KachelY + 1 20239 0.82058385 1.34374058 47.015991 76.990664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34375137-1.34374058) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34375137-1.34374058) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82053591-0.82058385) × cos(1.34375137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225099306076947 × 6371000     		do = 68.7511221319929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82053591-0.82058385) × cos(1.34374058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225109819147409 × 6371000     		du = 68.7543330943184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34375137)-sin(1.34374058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225099306076947-0.225109819147409)×R²
    abs(0.82058385-0.82053591)×1.05130704619594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05130704619594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05130704619594e-05×40589641000000     		ar = 4726.27494197338m²