Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82651 / 16217
↖ ↑ ↗
← N 79.257170°
E 47.007752°		 ← 56.92 m → N 79.257170°
E 47.010498°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.256658°
E 47.007752°		 ← 56.92 m →
3 238 m²		 N 79.256658°
E 47.010498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630580902099609 y=0.123729705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630580902099609 × 217)
    floor (0.630580902099609 × 131072)
    floor (82651.5)     		tx = 82651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123729705810547 × 217)
    floor (0.123729705810547 × 131072)
    floor (16217.5)     		ty = 16217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82651 / 16217 ti = "17/82651/16217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82651/16217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82651 ÷ 217
    82651 ÷ 131072     		x = 0.630577087402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16217 ÷ 217
    16217 ÷ 131072     		y = 0.123725891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630577087402344 × 2 - 1) × π
    0.261154174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.82044004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123725891113281 × 2 - 1) × π
    0.752548217773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.36419995236155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82044004} λ = 0.82044004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36419995236155))-π/2
    2×atan(10.6355264849803)-π/2
    2×1.47704744975313-π/2
    2.95409489950626-1.57079632675     		φ = 1.38329857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82044004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.007752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38329857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.257170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82651 KachelY 16217 0.82044004 1.38329857 47.007752 79.257170
    Oben rechts KachelX + 1 82652 KachelY 16217 0.82048797 1.38329857 47.010498 79.257170
    Unten links KachelX 82651 KachelY + 1 16218 0.82044004 1.38328964 47.007752 79.256658
    Unten rechts KachelX + 1 82652 KachelY + 1 16218 0.82048797 1.38328964 47.010498 79.256658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38329857-1.38328964) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38329857-1.38328964) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82044004-0.82048797) × cos(1.38329857) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186401092872651 × 6371000     		do = 56.9198161137142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82044004-0.82048797) × cos(1.38328964) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186409866355638 × 6371000     		du = 56.9224952022895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38329857)-sin(1.38328964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186401092872651-0.186409866355638)×R²
    abs(0.82048797-0.82044004)×8.7734829875008e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.7734829875008e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.7734829875008e-06×40589641000000     		ar = 3238.41701632397m²