Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8265 / 9505
↖ ↑ ↗
← S 27.702984°
E  1.604004°		 ← 2 163.15 m → S 27.702984°
E  1.625976°		 →
↑
2 162.95 m
↓
↑
2 162.95 m
↓
S 27.722436°
E  1.604004°		 ← 2 162.76 m →
4 678 373 m²		 S 27.722436°
E  1.625976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504486083984375 y=0.580169677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504486083984375 × 214)
    floor (0.504486083984375 × 16384)
    floor (8265.5)     		tx = 8265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580169677734375 × 214)
    floor (0.580169677734375 × 16384)
    floor (9505.5)     		ty = 9505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8265 / 9505 ti = "14/8265/9505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8265/9505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8265 ÷ 214
    8265 ÷ 16384     		x = 0.50445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9505 ÷ 214
    9505 ÷ 16384     		y = 0.58013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50445556640625 × 2 - 1) × π
    0.0089111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02799515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58013916015625 × 2 - 1) × π
    -0.1602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.50352919360907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02799515} λ = 0.02799515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.50352919360907))-π/2
    2×atan(0.60439386837768)-π/2
    2×0.543644023998137-π/2
    1.08728804799627-1.57079632675     		φ = -0.48350828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02799515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.604004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48350828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.702984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8265 KachelY 9505 0.02799515 -0.48350828 1.604004 -27.702984
    Oben rechts KachelX + 1 8266 KachelY 9505 0.02837864 -0.48350828 1.625976 -27.702984
    Unten links KachelX 8265 KachelY + 1 9506 0.02799515 -0.48384778 1.604004 -27.722436
    Unten rechts KachelX + 1 8266 KachelY + 1 9506 0.02837864 -0.48384778 1.625976 -27.722436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48350828--0.48384778) × R
    0.000339499999999993 × 6371000     		dl = 2162.95449999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48350828--0.48384778) × R
    0.000339499999999993 × 6371000     		dr = 2162.95449999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02799515-0.02837864) × cos(-0.48350828) × R
    0.00038349 × 0.885369416882763 × 6371000     		do = 2163.14765394164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02799515-0.02837864) × cos(-0.48384778) × R
    0.00038349 × 0.885211536333592 × 6371000     		du = 2162.76191784886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48350828)-sin(-0.48384778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885369416882763-0.885211536333592)×R²
    abs(0.02837864-0.02799515)×0.000157880549171208×R²
    0.00038349×0.000157880549171208×6371000²
    0.00038349×0.000157880549171208×40589641000000     		ar = 4678372.83238442m²