Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82649 / 14802
↖ ↑ ↗
← N 79.957973°
E 47.002258°		 ← 53.26 m → N 79.957973°
E 47.005005°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.957494°
E 47.002258°		 ← 53.26 m →
2 837 m²		 N 79.957494°
E 47.005005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630565643310547 y=0.112934112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630565643310547 × 217)
    floor (0.630565643310547 × 131072)
    floor (82649.5)     		tx = 82649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112934112548828 × 217)
    floor (0.112934112548828 × 131072)
    floor (14802.5)     		ty = 14802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82649 / 14802 ti = "17/82649/14802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82649/14802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82649 ÷ 217
    82649 ÷ 131072     		x = 0.630561828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14802 ÷ 217
    14802 ÷ 131072     		y = 0.112930297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630561828613281 × 2 - 1) × π
    0.261123657226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.82034416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112930297851562 × 2 - 1) × π
    0.774139404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43203066532393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82034416} λ = 0.82034416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43203066532393))-π/2
    2×atan(11.381971603573)-π/2
    2×1.48316310622865-π/2
    2.9663262124573-1.57079632675     		φ = 1.39552989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82034416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.002258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39552989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.957973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82649 KachelY 14802 0.82034416 1.39552989 47.002258 79.957973
    Oben rechts KachelX + 1 82650 KachelY 14802 0.82039210 1.39552989 47.005005 79.957973
    Unten links KachelX 82649 KachelY + 1 14803 0.82034416 1.39552153 47.002258 79.957494
    Unten rechts KachelX + 1 82650 KachelY + 1 14803 0.82039210 1.39552153 47.005005 79.957494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39552989-1.39552153) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39552989-1.39552153) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82034416-0.82039210) × cos(1.39552989) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174370498793524 × 6371000     		do = 53.2572386281462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82034416-0.82039210) × cos(1.39552153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174378730713193 × 6371000     		du = 53.2597528683028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39552989)-sin(1.39552153))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174370498793524-0.174378730713193)×R²
    abs(0.82039210-0.82034416)×8.23191966914383e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23191966914383e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23191966914383e-06×40589641000000     		ar = 2836.63056692557m²