Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82647 / 14804
↖ ↑ ↗
← N 79.957015°
E 46.996765°		 ← 53.26 m → N 79.957015°
E 46.999512°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.956536°
E 46.996765°		 ← 53.26 m →
2 837 m²		 N 79.956536°
E 46.999512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630550384521484 y=0.112949371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630550384521484 × 217)
    floor (0.630550384521484 × 131072)
    floor (82647.5)     		tx = 82647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112949371337891 × 217)
    floor (0.112949371337891 × 131072)
    floor (14804.5)     		ty = 14804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82647 / 14804 ti = "17/82647/14804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82647/14804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82647 ÷ 217
    82647 ÷ 131072     		x = 0.630546569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14804 ÷ 217
    14804 ÷ 131072     		y = 0.112945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630546569824219 × 2 - 1) × π
    0.261093139648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.82024829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112945556640625 × 2 - 1) × π
    0.77410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43193479152469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82024829} λ = 0.82024829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43193479152469))-π/2
    2×atan(11.3808804230212)-π/2
    2×1.48315474705278-π/2
    2.96630949410556-1.57079632675     		φ = 1.39551317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82024829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.996765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39551317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.957015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82647 KachelY 14804 0.82024829 1.39551317 46.996765 79.957015
    Oben rechts KachelX + 1 82648 KachelY 14804 0.82029623 1.39551317 46.999512 79.957015
    Unten links KachelX 82647 KachelY + 1 14805 0.82024829 1.39550481 46.996765 79.956536
    Unten rechts KachelX + 1 82648 KachelY + 1 14805 0.82029623 1.39550481 46.999512 79.956536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39551317-1.39550481) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39551317-1.39550481) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82024829-0.82029623) × cos(1.39551317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174386962620675 × 6371000     		do = 53.262267104737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82024829-0.82029623) × cos(1.39550481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174395194515969 × 6371000     		du = 53.2647813374488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39551317)-sin(1.39550481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174386962620675-0.174395194515969)×R²
    abs(0.82029623-0.82024829)×8.23189529405854e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23189529405854e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23189529405854e-06×40589641000000     		ar = 2836.8983911647m²