Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82646 / 14803
↖ ↑ ↗
← N 79.957494°
E 46.994018°		 ← 53.26 m → N 79.957494°
E 46.996765°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.957015°
E 46.994018°		 ← 53.26 m →
2 837 m²		 N 79.957015°
E 46.996765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630542755126953 y=0.112941741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630542755126953 × 217)
    floor (0.630542755126953 × 131072)
    floor (82646.5)     		tx = 82646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112941741943359 × 217)
    floor (0.112941741943359 × 131072)
    floor (14803.5)     		ty = 14803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82646 / 14803 ti = "17/82646/14803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82646/14803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82646 ÷ 217
    82646 ÷ 131072     		x = 0.630538940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14803 ÷ 217
    14803 ÷ 131072     		y = 0.112937927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630538940429688 × 2 - 1) × π
    0.261077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.82020035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112937927246094 × 2 - 1) × π
    0.774124145507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.43198272842431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82020035} λ = 0.82020035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43198272842431))-π/2
    2×atan(11.3814260002201)-π/2
    2×1.48315892673936-π/2
    2.96631785347872-1.57079632675     		φ = 1.39552153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82020035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.994018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39552153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.957494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82646 KachelY 14803 0.82020035 1.39552153 46.994018 79.957494
    Oben rechts KachelX + 1 82647 KachelY 14803 0.82024829 1.39552153 46.996765 79.957494
    Unten links KachelX 82646 KachelY + 1 14804 0.82020035 1.39551317 46.994018 79.957015
    Unten rechts KachelX + 1 82647 KachelY + 1 14804 0.82024829 1.39551317 46.996765 79.957015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39552153-1.39551317) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dl = 53.2615599988437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39552153-1.39551317) × R
    8.35999999981851e-06 × 6371000     		dr = 53.2615599988437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82020035-0.82024829) × cos(1.39552153) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174378730713193 × 6371000     		do = 53.2597528683028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82020035-0.82024829) × cos(1.39551317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174386962620675 × 6371000     		du = 53.262267104737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39552153)-sin(1.39551317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174378730713193-0.174386962620675)×R²
    abs(0.82024829-0.82020035)×8.23190748169833e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23190748169833e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23190748169833e-06×40589641000000     		ar = 2836.76447904513m²