Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82644 / 20233
↖ ↑ ↗
← N 76.994373°
E 46.988525°		 ← 68.74 m → N 76.994373°
E 46.991272°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.993755°
E 46.988525°		 ← 68.74 m →
4 725 m²		 N 76.993755°
E 46.991272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630527496337891 y=0.154369354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630527496337891 × 217)
    floor (0.630527496337891 × 131072)
    floor (82644.5)     		tx = 82644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154369354248047 × 217)
    floor (0.154369354248047 × 131072)
    floor (20233.5)     		ty = 20233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82644 / 20233 ti = "17/82644/20233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82644/20233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82644 ÷ 217
    82644 ÷ 131072     		x = 0.630523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20233 ÷ 217
    20233 ÷ 131072     		y = 0.154365539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630523681640625 × 2 - 1) × π
    0.26104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82010448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154365539550781 × 2 - 1) × π
    0.691268920898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.1716853634874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82010448} λ = 0.82010448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1716853634874))-π/2
    2×atan(8.77305737860061)-π/2
    2×1.45730082321566-π/2
    2.91460164643132-1.57079632675     		φ = 1.34380532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82010448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.988525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34380532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.994373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82644 KachelY 20233 0.82010448 1.34380532 46.988525 76.994373
    Oben rechts KachelX + 1 82645 KachelY 20233 0.82015242 1.34380532 46.991272 76.994373
    Unten links KachelX 82644 KachelY + 1 20234 0.82010448 1.34379453 46.988525 76.993755
    Unten rechts KachelX + 1 82645 KachelY + 1 20234 0.82015242 1.34379453 46.991272 76.993755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34380532-1.34379453) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34380532-1.34379453) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82010448-0.82015242) × cos(1.34380532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225046740331556 × 6371000     		do = 68.7350672003083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82010448-0.82015242) × cos(1.34379453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225057253533041 × 6371000     		du = 68.7382782026516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34380532)-sin(1.34379453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225046740331556-0.225057253533041)×R²
    abs(0.82015242-0.82010448)×1.05132014846521e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05132014846521e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05132014846521e-05×40589641000000     		ar = 4725.17127783728m²