Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82643 / 20063
↖ ↑ ↗
← N 77.099036°
E 46.985779°		 ← 68.19 m → N 77.099036°
E 46.988525°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.098422°
E 46.985779°		 ← 68.19 m →
4 649 m²		 N 77.098422°
E 46.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630519866943359 y=0.153072357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630519866943359 × 217)
    floor (0.630519866943359 × 131072)
    floor (82643.5)     		tx = 82643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153072357177734 × 217)
    floor (0.153072357177734 × 131072)
    floor (20063.5)     		ty = 20063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82643 / 20063 ti = "17/82643/20063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82643/20063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82643 ÷ 217
    82643 ÷ 131072     		x = 0.630516052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20063 ÷ 217
    20063 ÷ 131072     		y = 0.153068542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630516052246094 × 2 - 1) × π
    0.261032104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.82005654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153068542480469 × 2 - 1) × π
    0.693862915039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.17983463642281
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82005654} λ = 0.82005654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17983463642281))-π/2
    2×atan(8.84484352281801)-π/2
    2×1.45821417545024-π/2
    2.91642835090048-1.57079632675     		φ = 1.34563202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82005654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.985779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34563202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.099036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82643 KachelY 20063 0.82005654 1.34563202 46.985779 77.099036
    Oben rechts KachelX + 1 82644 KachelY 20063 0.82010448 1.34563202 46.988525 77.099036
    Unten links KachelX 82643 KachelY + 1 20064 0.82005654 1.34562132 46.985779 77.098422
    Unten rechts KachelX + 1 82644 KachelY + 1 20064 0.82010448 1.34562132 46.988525 77.098422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34563202-1.34562132) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34563202-1.34562132) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82005654-0.82010448) × cos(1.34563202) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223266524414871 × 6371000     		do = 68.1913434367533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82005654-0.82010448) × cos(1.34562132) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.223276954306655 × 6371000     		du = 68.1945289941696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34563202)-sin(1.34562132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223266524414871-0.223276954306655)×R²
    abs(0.82010448-0.82005654)×1.04298917843471e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04298917843471e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04298917843471e-05×40589641000000     		ar = 4648.69200396767m²