Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82643 / 14789
↖ ↑ ↗
← N 79.964197°
E 46.985779°		 ← 53.22 m → N 79.964197°
E 46.988525°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.963718°
E 46.985779°		 ← 53.23 m →
2 835 m²		 N 79.963718°
E 46.988525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630519866943359 y=0.112834930419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630519866943359 × 217)
    floor (0.630519866943359 × 131072)
    floor (82643.5)     		tx = 82643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112834930419922 × 217)
    floor (0.112834930419922 × 131072)
    floor (14789.5)     		ty = 14789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82643 / 14789 ti = "17/82643/14789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82643/14789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82643 ÷ 217
    82643 ÷ 131072     		x = 0.630516052246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14789 ÷ 217
    14789 ÷ 131072     		y = 0.112831115722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630516052246094 × 2 - 1) × π
    0.261032104492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.82005654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112831115722656 × 2 - 1) × π
    0.774337768554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.43265384501899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82005654} λ = 0.82005654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43265384501899))-π/2
    2×atan(11.3890668277363)-π/2
    2×1.48321742164045-π/2
    2.96643484328089-1.57079632675     		φ = 1.39563852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82005654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.985779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39563852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.964197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82643 KachelY 14789 0.82005654 1.39563852 46.985779 79.964197
    Oben rechts KachelX + 1 82644 KachelY 14789 0.82010448 1.39563852 46.988525 79.964197
    Unten links KachelX 82643 KachelY + 1 14790 0.82005654 1.39563016 46.985779 79.963718
    Unten rechts KachelX + 1 82644 KachelY + 1 14790 0.82010448 1.39563016 46.988525 79.963718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39563852-1.39563016) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39563852-1.39563016) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82005654-0.82010448) × cos(1.39563852) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174263531963999 × 6371000     		do = 53.2245682052064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82005654-0.82010448) × cos(1.39563016) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174271764041977 × 6371000     		du = 53.2270824937147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39563852)-sin(1.39563016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174263531963999-0.174271764041977)×R²
    abs(0.82010448-0.82005654)×8.23207797834291e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.23207797834291e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.23207797834291e-06×40589641000000     		ar = 2834.89049055918m²