Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82642 / 14806
↖ ↑ ↗
← N 79.956057°
E 46.983032°		 ← 53.27 m → N 79.956057°
E 46.985779°		 →
↑
53.26 m
↓
↑
53.26 m
↓
N 79.955578°
E 46.983032°		 ← 53.27 m →
2 837 m²		 N 79.955578°
E 46.985779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630512237548828 y=0.112964630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630512237548828 × 217)
    floor (0.630512237548828 × 131072)
    floor (82642.5)     		tx = 82642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112964630126953 × 217)
    floor (0.112964630126953 × 131072)
    floor (14806.5)     		ty = 14806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82642 / 14806 ti = "17/82642/14806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82642/14806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82642 ÷ 217
    82642 ÷ 131072     		x = 0.630508422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14806 ÷ 217
    14806 ÷ 131072     		y = 0.112960815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630508422851562 × 2 - 1) × π
    0.261016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82000860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112960815429688 × 2 - 1) × π
    0.774078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43183891772545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82000860} λ = 0.82000860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43183891772545))-π/2
    2×atan(11.37978934708)-π/2
    2×1.48314638708773-π/2
    2.96629277417545-1.57079632675     		φ = 1.39549645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82000860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.983032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39549645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.956057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82642 KachelY 14806 0.82000860 1.39549645 46.983032 79.956057
    Oben rechts KachelX + 1 82643 KachelY 14806 0.82005654 1.39549645 46.985779 79.956057
    Unten links KachelX 82642 KachelY + 1 14807 0.82000860 1.39548809 46.983032 79.955578
    Unten rechts KachelX + 1 82643 KachelY + 1 14807 0.82005654 1.39548809 46.985779 79.955578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39549645-1.39548809) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dl = 53.2615600002584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39549645-1.39548809) × R
    8.36000000004056e-06 × 6371000     		dr = 53.2615600002584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82000860-0.82005654) × cos(1.39549645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174403426399074 × 6371000     		do = 53.2672955664379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82000860-0.82005654) × cos(1.39548809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174411658269991 × 6371000     		du = 53.2698097917042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39549645)-sin(1.39548809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174403426399074-0.174411658269991)×R²
    abs(0.82005654-0.82000860)×8.23187091666955e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.23187091666955e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.23187091666955e-06×40589641000000     		ar = 2837.16621475572m²