Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82640 / 14688
↖ ↑ ↗
← N 80.012423°
E 46.977539°		 ← 52.97 m → N 80.012423°
E 46.980286°		 →
↑
53.01 m
↓
↑
53.01 m
↓
N 80.011947°
E 46.977539°		 ← 52.97 m →
2 808 m²		 N 80.011947°
E 46.980286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630496978759766 y=0.112064361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630496978759766 × 217)
    floor (0.630496978759766 × 131072)
    floor (82640.5)     		tx = 82640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112064361572266 × 217)
    floor (0.112064361572266 × 131072)
    floor (14688.5)     		ty = 14688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82640 / 14688 ti = "17/82640/14688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82640/14688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82640 ÷ 217
    82640 ÷ 131072     		x = 0.6304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14688 ÷ 217
    14688 ÷ 131072     		y = 0.112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6304931640625 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81991273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112060546875 × 2 - 1) × π
    0.77587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43749547188062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81991273} λ = 0.81991273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43749547188062))-π/2
    2×atan(11.4443421428663)-π/2
    2×1.48363827707678-π/2
    2.96727655415357-1.57079632675     		φ = 1.39648023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81991273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.977539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39648023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.012423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82640 KachelY 14688 0.81991273 1.39648023 46.977539 80.012423
    Oben rechts KachelX + 1 82641 KachelY 14688 0.81996067 1.39648023 46.980286 80.012423
    Unten links KachelX 82640 KachelY + 1 14689 0.81991273 1.39647191 46.977539 80.011947
    Unten rechts KachelX + 1 82641 KachelY + 1 14689 0.81996067 1.39647191 46.980286 80.011947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39648023-1.39647191) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dl = 53.0067200003925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39648023-1.39647191) × R
    8.32000000006161e-06 × 6371000     		dr = 53.0067200003925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81991273-0.81996067) × cos(1.39648023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173434639292747 × 6371000     		do = 52.9714030475855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81991273-0.81996067) × cos(1.39647191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17344283320032 × 6371000     		du = 52.9739056778695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39648023)-sin(1.39647191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173434639292747-0.17344283320032)×R²
    abs(0.81996067-0.81991273)×8.19390757308969e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.19390757308969e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.19390757308969e-06×40589641000000     		ar = 2807.90665750938m²