Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82638 / 20117
↖ ↑ ↗
← N 77.065880°
E 46.972046°		 ← 68.35 m → N 77.065880°
E 46.974792°		 →
↑
68.36 m
↓
↑
68.36 m
↓
N 77.065265°
E 46.972046°		 ← 68.35 m →
4 673 m²		 N 77.065265°
E 46.974792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630481719970703 y=0.153484344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630481719970703 × 217)
    floor (0.630481719970703 × 131072)
    floor (82638.5)     		tx = 82638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153484344482422 × 217)
    floor (0.153484344482422 × 131072)
    floor (20117.5)     		ty = 20117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82638 / 20117 ti = "17/82638/20117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82638/20117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82638 ÷ 217
    82638 ÷ 131072     		x = 0.630477905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20117 ÷ 217
    20117 ÷ 131072     		y = 0.153480529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630477905273438 × 2 - 1) × π
    0.260955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81981686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153480529785156 × 2 - 1) × π
    0.693038940429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17724604384333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81981686} λ = 0.81981686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17724604384333))-π/2
    2×atan(8.82197743476952)-π/2
    2×1.45792483755497-π/2
    2.91584967510995-1.57079632675     		φ = 1.34505335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81981686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.972046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34505335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.065880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82638 KachelY 20117 0.81981686 1.34505335 46.972046 77.065880
    Oben rechts KachelX + 1 82639 KachelY 20117 0.81986479 1.34505335 46.974792 77.065880
    Unten links KachelX 82638 KachelY + 1 20118 0.81981686 1.34504262 46.972046 77.065265
    Unten rechts KachelX + 1 82639 KachelY + 1 20118 0.81986479 1.34504262 46.974792 77.065265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34505335-1.34504262) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dl = 68.3608299990304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34505335-1.34504262) × R
    1.07299999998478e-05 × 6371000     		dr = 68.3608299990304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81981686-0.81986479) × cos(1.34505335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223830549887494 × 6371000     		do = 68.3493510897034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81981686-0.81986479) × cos(1.34504262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223841007633856 × 6371000     		du = 68.3525444883615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34505335)-sin(1.34504262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223830549887494-0.223841007633856)×R²
    abs(0.81986479-0.81981686)×1.04577463612421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04577463612421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04577463612421e-05×40589641000000     		ar = 4672.52752216423m²