Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82635 / 16228
↖ ↑ ↗
← N 79.251537°
E 46.963806°		 ← 56.95 m → N 79.251537°
E 46.966553°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.251025°
E 46.963806°		 ← 56.95 m →
3 244 m²		 N 79.251025°
E 46.966553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630458831787109 y=0.123813629150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630458831787109 × 217)
    floor (0.630458831787109 × 131072)
    floor (82635.5)     		tx = 82635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123813629150391 × 217)
    floor (0.123813629150391 × 131072)
    floor (16228.5)     		ty = 16228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82635 / 16228 ti = "17/82635/16228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82635/16228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82635 ÷ 217
    82635 ÷ 131072     		x = 0.630455017089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16228 ÷ 217
    16228 ÷ 131072     		y = 0.123809814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630455017089844 × 2 - 1) × π
    0.260910034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81967305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123809814453125 × 2 - 1) × π
    0.75238037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36367264646573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81967305} λ = 0.81967305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36367264646573))-π/2
    2×atan(10.6299197875118)-π/2
    2×1.4769982918239-π/2
    2.9539965836478-1.57079632675     		φ = 1.38320026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81967305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.963806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38320026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.251537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82635 KachelY 16228 0.81967305 1.38320026 46.963806 79.251537
    Oben rechts KachelX + 1 82636 KachelY 16228 0.81972098 1.38320026 46.966553 79.251537
    Unten links KachelX 82635 KachelY + 1 16229 0.81967305 1.38319132 46.963806 79.251025
    Unten rechts KachelX + 1 82636 KachelY + 1 16229 0.81972098 1.38319132 46.966553 79.251025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38320026-1.38319132) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38320026-1.38319132) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81967305-0.81972098) × cos(1.38320026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186497678964244 × 6371000     		do = 56.9493098388446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81967305-0.81972098) × cos(1.38319132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186506462108079 × 6371000     		du = 56.9519918774761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38320026)-sin(1.38319132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186497678964244-0.186506462108079)×R²
    abs(0.81972098-0.81967305)×8.7831438356778e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.7831438356778e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.7831438356778e-06×40589641000000     		ar = 3243.72341375378m²