Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82634 / 20261
↖ ↑ ↗
← N 76.977055°
E 46.961060°		 ← 68.83 m → N 76.977055°
E 46.963806°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.976436°
E 46.961060°		 ← 68.83 m →
4 740 m²		 N 76.976436°
E 46.963806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630451202392578 y=0.154582977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630451202392578 × 217)
    floor (0.630451202392578 × 131072)
    floor (82634.5)     		tx = 82634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154582977294922 × 217)
    floor (0.154582977294922 × 131072)
    floor (20261.5)     		ty = 20261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82634 / 20261 ti = "17/82634/20261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82634/20261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82634 ÷ 217
    82634 ÷ 131072     		x = 0.630447387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20261 ÷ 217
    20261 ÷ 131072     		y = 0.154579162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630447387695312 × 2 - 1) × π
    0.260894775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81962511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154579162597656 × 2 - 1) × π
    0.690841674804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17034313029804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81962511} λ = 0.81962511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17034313029804))-π/2
    2×atan(8.76128978900623)-π/2
    2×1.45714969181226-π/2
    2.91429938362451-1.57079632675     		φ = 1.34350306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81962511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.961060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34350306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.977055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82634 KachelY 20261 0.81962511 1.34350306 46.961060 76.977055
    Oben rechts KachelX + 1 82635 KachelY 20261 0.81967305 1.34350306 46.963806 76.977055
    Unten links KachelX 82634 KachelY + 1 20262 0.81962511 1.34349225 46.961060 76.976436
    Unten rechts KachelX + 1 82635 KachelY + 1 20262 0.81967305 1.34349225 46.963806 76.976436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34350306-1.34349225) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34350306-1.34349225) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81962511-0.81967305) × cos(1.34350306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225341236463918 × 6371000     		do = 68.8250138994619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81962511-0.81967305) × cos(1.34349225) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22535176841649 × 6371000     		du = 68.82823062887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34350306)-sin(1.34349225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225341236463918-0.22535176841649)×R²
    abs(0.81967305-0.81962511)×1.05319525725844e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05319525725844e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05319525725844e-05×40589641000000     		ar = 4740.12457692394m²