Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82633 / 14763
↖ ↑ ↗
← N 79.976634°
E 46.958313°		 ← 53.16 m → N 79.976634°
E 46.961060°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.976155°
E 46.958313°		 ← 53.16 m →
2 828 m²		 N 79.976155°
E 46.961060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630443572998047 y=0.112636566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630443572998047 × 217)
    floor (0.630443572998047 × 131072)
    floor (82633.5)     		tx = 82633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112636566162109 × 217)
    floor (0.112636566162109 × 131072)
    floor (14763.5)     		ty = 14763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82633 / 14763 ti = "17/82633/14763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82633/14763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82633 ÷ 217
    82633 ÷ 131072     		x = 0.630439758300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14763 ÷ 217
    14763 ÷ 131072     		y = 0.112632751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630439758300781 × 2 - 1) × π
    0.260879516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.81957717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112632751464844 × 2 - 1) × π
    0.774734497070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.43390020440911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81957717} λ = 0.81957717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43390020440911))-π/2
    2×atan(11.403270547753)-π/2
    2×1.48332595252346-π/2
    2.96665190504692-1.57079632675     		φ = 1.39585558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81957717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.958313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39585558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.976634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82633 KachelY 14763 0.81957717 1.39585558 46.958313 79.976634
    Oben rechts KachelX + 1 82634 KachelY 14763 0.81962511 1.39585558 46.961060 79.976634
    Unten links KachelX 82633 KachelY + 1 14764 0.81957717 1.39584723 46.958313 79.976155
    Unten rechts KachelX + 1 82634 KachelY + 1 14764 0.81962511 1.39584723 46.961060 79.976155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39585558-1.39584723) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39585558-1.39584723) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81957717-0.81962511) × cos(1.39585558) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174049789084408 × 6371000     		do = 53.1592856280374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81957717-0.81962511) × cos(1.39584723) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.174058011631068 × 6371000     		du = 53.1617970054358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39585558)-sin(1.39584723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174049789084408-0.174058011631068)×R²
    abs(0.81962511-0.81957717)×8.22254666030253e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.22254666030253e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.22254666030253e-06×40589641000000     		ar = 2828.02650304831m²