Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82632 / 20254
↖ ↑ ↗
← N 76.981387°
E 46.955567°		 ← 68.79 m → N 76.981387°
E 46.958313°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.980768°
E 46.955567°		 ← 68.79 m →
4 733 m²		 N 76.980768°
E 46.958313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630435943603516 y=0.154529571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630435943603516 × 217)
    floor (0.630435943603516 × 131072)
    floor (82632.5)     		tx = 82632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154529571533203 × 217)
    floor (0.154529571533203 × 131072)
    floor (20254.5)     		ty = 20254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82632 / 20254 ti = "17/82632/20254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82632/20254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82632 ÷ 217
    82632 ÷ 131072     		x = 0.63043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20254 ÷ 217
    20254 ÷ 131072     		y = 0.154525756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    0.2608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81952924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154525756835938 × 2 - 1) × π
    0.690948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17067868859538
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81952924} λ = 0.81952924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17067868859538))-π/2
    2×atan(8.76423020580337)-π/2
    2×1.45718749319406-π/2
    2.91437498638811-1.57079632675     		φ = 1.34357866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81952924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.955567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34357866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.981387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82632 KachelY 20254 0.81952924 1.34357866 46.955567 76.981387
    Oben rechts KachelX + 1 82633 KachelY 20254 0.81957717 1.34357866 46.958313 76.981387
    Unten links KachelX 82632 KachelY + 1 20255 0.81952924 1.34356786 46.955567 76.980768
    Unten rechts KachelX + 1 82633 KachelY + 1 20255 0.81957717 1.34356786 46.958313 76.980768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34357866-1.34356786) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dl = 68.8067999991493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34357866-1.34356786) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dr = 68.8067999991493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.34357866) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225267580259455 × 6371000     		do = 68.7881656010978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.34356786) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225278102653214 × 6371000     		du = 68.7913787406164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34357866)-sin(1.34356786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225267580259455-0.225278102653214)×R²
    abs(0.81957717-0.81952924)×1.05223937585941e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05223937585941e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05223937585941e-05×40589641000000     		ar = 4733.20409590684m²