Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82632 / 14781
↖ ↑ ↗
← N 79.968025°
E 46.955567°		 ← 53.19 m → N 79.968025°
E 46.958313°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.967546°
E 46.955567°		 ← 53.20 m →
2 830 m²		 N 79.967546°
E 46.958313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630435943603516 y=0.112773895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630435943603516 × 217)
    floor (0.630435943603516 × 131072)
    floor (82632.5)     		tx = 82632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112773895263672 × 217)
    floor (0.112773895263672 × 131072)
    floor (14781.5)     		ty = 14781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82632 / 14781 ti = "17/82632/14781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82632/14781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82632 ÷ 217
    82632 ÷ 131072     		x = 0.63043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14781 ÷ 217
    14781 ÷ 131072     		y = 0.112770080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    0.2608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81952924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112770080566406 × 2 - 1) × π
    0.774459838867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.43303734021595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81952924} λ = 0.81952924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43303734021595))-π/2
    2×atan(11.3934353177565)-π/2
    2×1.4832508299465-π/2
    2.966501659893-1.57079632675     		φ = 1.39570533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81952924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.955567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39570533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.968025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82632 KachelY 14781 0.81952924 1.39570533 46.955567 79.968025
    Oben rechts KachelX + 1 82633 KachelY 14781 0.81957717 1.39570533 46.958313 79.968025
    Unten links KachelX 82632 KachelY + 1 14782 0.81952924 1.39569698 46.955567 79.967546
    Unten rechts KachelX + 1 82633 KachelY + 1 14782 0.81957717 1.39569698 46.958313 79.967546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39570533-1.39569698) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dl = 53.1978499992309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39570533-1.39569698) × R
    8.34999999987929e-06 × 6371000     		dr = 53.1978499992309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.39570533) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.174197743831518 × 6371000     		do = 53.1933766777218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.39569698) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.17420596615972 × 6371000     		du = 53.1958874645527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39570533)-sin(1.39569698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174197743831518-0.17420596615972)×R²
    abs(0.81957717-0.81952924)×8.22232820144042e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.22232820144042e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.22232820144042e-06×40589641000000     		ar = 2829.84005763911m²