Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82632 / 14660
↖ ↑ ↗
← N 80.025752°
E 46.955567°		 ← 52.89 m → N 80.025752°
E 46.958313°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.025277°
E 46.955567°		 ← 52.89 m →
2 797 m²		 N 80.025277°
E 46.958313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630435943603516 y=0.111850738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630435943603516 × 217)
    floor (0.630435943603516 × 131072)
    floor (82632.5)     		tx = 82632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111850738525391 × 217)
    floor (0.111850738525391 × 131072)
    floor (14660.5)     		ty = 14660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82632 / 14660 ti = "17/82632/14660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82632/14660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82632 ÷ 217
    82632 ÷ 131072     		x = 0.63043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14660 ÷ 217
    14660 ÷ 131072     		y = 0.111846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63043212890625 × 2 - 1) × π
    0.2608642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81952924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111846923828125 × 2 - 1) × π
    0.77630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43883770506998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81952924} λ = 0.81952924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43883770506998))-π/2
    2×atan(11.4597134323406)-π/2
    2×1.48375459504516-π/2
    2.96750919009032-1.57079632675     		φ = 1.39671286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81952924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.955567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39671286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.025752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82632 KachelY 14660 0.81952924 1.39671286 46.955567 80.025752
    Oben rechts KachelX + 1 82633 KachelY 14660 0.81957717 1.39671286 46.958313 80.025752
    Unten links KachelX 82632 KachelY + 1 14661 0.81952924 1.39670456 46.955567 80.025277
    Unten rechts KachelX + 1 82633 KachelY + 1 14661 0.81957717 1.39670456 46.958313 80.025277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39671286-1.39670456) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39671286-1.39670456) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.39671286) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173205530020807 × 6371000     		do = 52.8903922542895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81952924-0.81957717) × cos(1.39670456) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.173213704566161 × 6371000     		du = 52.892888450053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39671286)-sin(1.39670456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173205530020807-0.173213704566161)×R²
    abs(0.81957717-0.81952924)×8.17454535351203e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.17454535351203e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.17454535351203e-06×40589641000000     		ar = 2796.8729178606m²