Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82630 / 20205
↖ ↑ ↗
← N 77.011669°
E 46.950073°		 ← 68.65 m → N 77.011669°
E 46.952820°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.011052°
E 46.950073°		 ← 68.65 m →
4 715 m²		 N 77.011052°
E 46.952820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630420684814453 y=0.154155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630420684814453 × 217)
    floor (0.630420684814453 × 131072)
    floor (82630.5)     		tx = 82630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154155731201172 × 217)
    floor (0.154155731201172 × 131072)
    floor (20205.5)     		ty = 20205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82630 / 20205 ti = "17/82630/20205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82630/20205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82630 ÷ 217
    82630 ÷ 131072     		x = 0.630416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20205 ÷ 217
    20205 ÷ 131072     		y = 0.154151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    0.260833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81943336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154151916503906 × 2 - 1) × π
    0.691696166992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.17302759667677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81943336} λ = 0.81943336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17302759667677))-π/2
    2×atan(8.78484077364923)-π/2
    2×1.45745175709827-π/2
    2.91490351419655-1.57079632675     		φ = 1.34410719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81943336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34410719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.011669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82630 KachelY 20205 0.81943336 1.34410719 46.950073 77.011669
    Oben rechts KachelX + 1 82631 KachelY 20205 0.81948130 1.34410719 46.952820 77.011669
    Unten links KachelX 82630 KachelY + 1 20206 0.81943336 1.34409641 46.950073 77.011052
    Unten rechts KachelX + 1 82631 KachelY + 1 20206 0.81948130 1.34409641 46.952820 77.011052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34410719-1.34409641) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34410719-1.34409641) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81943336-0.81948130) × cos(1.34410719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224752603660878 × 6371000     		do = 68.6452302900053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81943336-0.81948130) × cos(1.34409641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.224763107850783 × 6371000     		du = 68.6484385399803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34410719)-sin(1.34409641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224752603660878-0.224763107850783)×R²
    abs(0.81948130-0.81943336)×1.05041899055858e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05041899055858e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05041899055858e-05×40589641000000     		ar = 4714.62202669613m²