Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82630 / 16066
↖ ↑ ↗
← N 79.334203°
E 46.950073°		 ← 56.53 m → N 79.334203°
E 46.952820°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.333694°
E 46.950073°		 ← 56.53 m →
3 198 m²		 N 79.333694°
E 46.952820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630420684814453 y=0.122577667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630420684814453 × 217)
    floor (0.630420684814453 × 131072)
    floor (82630.5)     		tx = 82630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122577667236328 × 217)
    floor (0.122577667236328 × 131072)
    floor (16066.5)     		ty = 16066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82630 / 16066 ti = "17/82630/16066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82630/16066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82630 ÷ 217
    82630 ÷ 131072     		x = 0.630416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16066 ÷ 217
    16066 ÷ 131072     		y = 0.122573852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630416870117188 × 2 - 1) × π
    0.260833740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81943336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122573852539062 × 2 - 1) × π
    0.754852294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37143842420418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81943336} λ = 0.81943336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37143842420418))-π/2
    2×atan(10.7127907441979)-π/2
    2×1.47771968589767-π/2
    2.95543937179533-1.57079632675     		φ = 1.38464305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81943336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.950073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38464305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.334203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82630 KachelY 16066 0.81943336 1.38464305 46.950073 79.334203
    Oben rechts KachelX + 1 82631 KachelY 16066 0.81948130 1.38464305 46.952820 79.334203
    Unten links KachelX 82630 KachelY + 1 16067 0.81943336 1.38463417 46.950073 79.333694
    Unten rechts KachelX + 1 82631 KachelY + 1 16067 0.81948130 1.38463417 46.952820 79.333694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38464305-1.38463417) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38464305-1.38463417) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81943336-0.81948130) × cos(1.38464305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185080008516678 × 6371000     		do = 56.5281985603757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81943336-0.81948130) × cos(1.38463417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185088735093668 × 6371000     		du = 56.5308638816105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38464305)-sin(1.38463417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185080008516678-0.185088735093668)×R²
    abs(0.81948130-0.81943336)×8.72657698960944e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72657698960944e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72657698960944e-06×40589641000000     		ar = 3198.12883342925m²