Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8263 / 9502
↖ ↑ ↗
← S 27.644606°
E  1.560059°		 ← 2 164.30 m → S 27.644606°
E  1.582031°		 →
↑
2 164.16 m
↓
↑
2 164.16 m
↓
S 27.664069°
E  1.560059°		 ← 2 163.92 m →
4 683 494 m²		 S 27.664069°
E  1.582031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504364013671875 y=0.579986572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504364013671875 × 214)
    floor (0.504364013671875 × 16384)
    floor (8263.5)     		tx = 8263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579986572265625 × 214)
    floor (0.579986572265625 × 16384)
    floor (9502.5)     		ty = 9502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8263 / 9502 ti = "14/8263/9502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8263/9502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8263 ÷ 214
    8263 ÷ 16384     		x = 0.50433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9502 ÷ 214
    9502 ÷ 16384     		y = 0.5799560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50433349609375 × 2 - 1) × π
    0.0086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02722816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    -0.159912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.502378708018189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02722816} λ = 0.02722816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502378708018189))-π/2
    2×atan(0.605089614960933)-π/2
    2×0.544153462512434-π/2
    1.08830692502487-1.57079632675     		φ = -0.48248940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02722816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.560059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48248940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.644606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8263 KachelY 9502 0.02722816 -0.48248940 1.560059 -27.644606
    Oben rechts KachelX + 1 8264 KachelY 9502 0.02761165 -0.48248940 1.582031 -27.644606
    Unten links KachelX 8263 KachelY + 1 9503 0.02722816 -0.48282909 1.560059 -27.664069
    Unten rechts KachelX + 1 8264 KachelY + 1 9503 0.02761165 -0.48282909 1.582031 -27.664069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48248940--0.48282909) × R
    0.000339690000000004 × 6371000     		dl = 2164.16499000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48248940--0.48282909) × R
    0.000339690000000004 × 6371000     		dr = 2164.16499000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02722816-0.02761165) × cos(-0.48248940) × R
    0.00038349 × 0.885842622484829 × 6371000     		do = 2164.30379686732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02722816-0.02761165) × cos(-0.48282909) × R
    0.00038349 × 0.885684960033714 × 6371000     		du = 2163.91859363493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48248940)-sin(-0.48282909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885842622484829-0.885684960033714)×R²
    abs(0.02761165-0.02722816)×0.000157662451115148×R²
    0.00038349×0.000157662451115148×6371000²
    0.00038349×0.000157662451115148×40589641000000     		ar = 4683493.72826468m²