Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82629 / 20213
↖ ↑ ↗
← N 77.006730°
E 46.947327°		 ← 68.66 m → N 77.006730°
E 46.950073°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 77.006112°
E 46.947327°		 ← 68.66 m →
4 715 m²		 N 77.006112°
E 46.950073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630413055419922 y=0.154216766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630413055419922 × 217)
    floor (0.630413055419922 × 131072)
    floor (82629.5)     		tx = 82629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154216766357422 × 217)
    floor (0.154216766357422 × 131072)
    floor (20213.5)     		ty = 20213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82629 / 20213 ti = "17/82629/20213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82629/20213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82629 ÷ 217
    82629 ÷ 131072     		x = 0.630409240722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20213 ÷ 217
    20213 ÷ 131072     		y = 0.154212951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630409240722656 × 2 - 1) × π
    0.260818481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.81938543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154212951660156 × 2 - 1) × π
    0.691574096679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17264410147981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81938543} λ = 0.81938543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17264410147981))-π/2
    2×atan(8.78147247531087)-π/2
    2×1.45740865327274-π/2
    2.91481730654548-1.57079632675     		φ = 1.34402098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81938543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.947327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34402098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.006730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82629 KachelY 20213 0.81938543 1.34402098 46.947327 77.006730
    Oben rechts KachelX + 1 82630 KachelY 20213 0.81943336 1.34402098 46.950073 77.006730
    Unten links KachelX 82629 KachelY + 1 20214 0.81938543 1.34401020 46.947327 77.006112
    Unten rechts KachelX + 1 82630 KachelY + 1 20214 0.81943336 1.34401020 46.950073 77.006112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34402098-1.34401020) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dl = 68.6793799999237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34402098-1.34401020) × R
    1.0779999999988e-05 × 6371000     		dr = 68.6793799999237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81938543-0.81943336) × cos(1.34402098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224836607216818 × 6371000     		do = 68.6565627980821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81938543-0.81943336) × cos(1.34401020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224847111197807 × 6371000     		du = 68.6597703150401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34402098)-sin(1.34401020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224836607216818-0.224847111197807)×R²
    abs(0.81943336-0.81938543)×1.05039809892293e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05039809892293e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05039809892293e-05×40589641000000     		ar = 4715.40031110994m²