Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82627 / 15939
↖ ↑ ↗
← N 79.398569°
E 46.941833°		 ← 56.19 m → N 79.398569°
E 46.944580°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.398064°
E 46.941833°		 ← 56.19 m →
3 158 m²		 N 79.398064°
E 46.944580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630397796630859 y=0.121608734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630397796630859 × 217)
    floor (0.630397796630859 × 131072)
    floor (82627.5)     		tx = 82627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121608734130859 × 217)
    floor (0.121608734130859 × 131072)
    floor (15939.5)     		ty = 15939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82627 / 15939 ti = "17/82627/15939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82627/15939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82627 ÷ 217
    82627 ÷ 131072     		x = 0.630393981933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15939 ÷ 217
    15939 ÷ 131072     		y = 0.121604919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630393981933594 × 2 - 1) × π
    0.260787963867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.81928955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121604919433594 × 2 - 1) × π
    0.756790161132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.37752641045592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81928955} λ = 0.81928955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37752641045592))-π/2
    2×atan(10.7782089976274)-π/2
    2×1.47828138612017-π/2
    2.95656277224034-1.57079632675     		φ = 1.38576645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81928955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.941833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38576645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.398569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82627 KachelY 15939 0.81928955 1.38576645 46.941833 79.398569
    Oben rechts KachelX + 1 82628 KachelY 15939 0.81933749 1.38576645 46.944580 79.398569
    Unten links KachelX 82627 KachelY + 1 15940 0.81928955 1.38575763 46.941833 79.398064
    Unten rechts KachelX + 1 82628 KachelY + 1 15940 0.81933749 1.38575763 46.944580 79.398064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38576645-1.38575763) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38576645-1.38575763) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81928955-0.81933749) × cos(1.38576645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183975900430696 × 6371000     		do = 56.1909755311748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81928955-0.81933749) × cos(1.38575763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183984569872794 × 6371000     		du = 56.193623401943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38576645)-sin(1.38575763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183975900430696-0.183984569872794)×R²
    abs(0.81933749-0.81928955)×8.66944209815257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.66944209815257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.66944209815257e-06×40589641000000     		ar = 3157.57005374441m²