Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82625 / 19393
↖ ↑ ↗
← N 77.503525°
E 46.936340°		 ← 66.07 m → N 77.503525°
E 46.939087°		 →
↑
66.07 m
↓
↑
66.07 m
↓
N 77.502931°
E 46.936340°		 ← 66.08 m →
4 365 m²		 N 77.502931°
E 46.939087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630382537841797 y=0.147960662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630382537841797 × 217)
    floor (0.630382537841797 × 131072)
    floor (82625.5)     		tx = 82625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147960662841797 × 217)
    floor (0.147960662841797 × 131072)
    floor (19393.5)     		ty = 19393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82625 / 19393 ti = "17/82625/19393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82625/19393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82625 ÷ 217
    82625 ÷ 131072     		x = 0.630378723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19393 ÷ 217
    19393 ÷ 131072     		y = 0.147956848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630378723144531 × 2 - 1) × π
    0.260757446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81919368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147956848144531 × 2 - 1) × π
    0.704086303710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.21195235916825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81919368} λ = 0.81919368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21195235916825))-π/2
    2×atan(9.13353093004411)-π/2
    2×1.46174400900184-π/2
    2.92348801800367-1.57079632675     		φ = 1.35269169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81919368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.936340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35269169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.503525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82625 KachelY 19393 0.81919368 1.35269169 46.936340 77.503525
    Oben rechts KachelX + 1 82626 KachelY 19393 0.81924161 1.35269169 46.939087 77.503525
    Unten links KachelX 82625 KachelY + 1 19394 0.81919368 1.35268132 46.936340 77.502931
    Unten rechts KachelX + 1 82626 KachelY + 1 19394 0.81924161 1.35268132 46.939087 77.502931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35269169-1.35268132) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dl = 66.067269998823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35269169-1.35268132) × R
    1.03699999998152e-05 × 6371000     		dr = 66.067269998823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81919368-0.81924161) × cos(1.35269169) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.216379552086805 × 6371000     		do = 66.0740992756048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81919368-0.81924161) × cos(1.35268132) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.216389676402824 × 6371000     		du = 66.0771908572969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35269169)-sin(1.35268132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216379552086805-0.216389676402824)×R²
    abs(0.81924161-0.81919368)×1.01243160195719e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.01243160195719e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.01243160195719e-05×40589641000000     		ar = 4365.43748302646m²