Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82625 / 16197
↖ ↑ ↗
← N 79.267405°
E 46.936340°		 ← 56.87 m → N 79.267405°
E 46.939087°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.266893°
E 46.936340°		 ← 56.87 m →
3 235 m²		 N 79.266893°
E 46.939087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630382537841797 y=0.123577117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630382537841797 × 217)
    floor (0.630382537841797 × 131072)
    floor (82625.5)     		tx = 82625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123577117919922 × 217)
    floor (0.123577117919922 × 131072)
    floor (16197.5)     		ty = 16197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82625 / 16197 ti = "17/82625/16197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82625/16197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82625 ÷ 217
    82625 ÷ 131072     		x = 0.630378723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16197 ÷ 217
    16197 ÷ 131072     		y = 0.123573303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630378723144531 × 2 - 1) × π
    0.260757446289062 × 3.1415926535     		Λ = 0.81919368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123573303222656 × 2 - 1) × π
    0.752853393554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.36515869035395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81919368} λ = 0.81919368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36515869035395))-π/2
    2×atan(10.645728057827)-π/2
    2×1.47713676258612-π/2
    2.95427352517223-1.57079632675     		φ = 1.38347720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81919368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.936340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38347720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.267405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82625 KachelY 16197 0.81919368 1.38347720 46.936340 79.267405
    Oben rechts KachelX + 1 82626 KachelY 16197 0.81924161 1.38347720 46.939087 79.267405
    Unten links KachelX 82625 KachelY + 1 16198 0.81919368 1.38346827 46.936340 79.266893
    Unten rechts KachelX + 1 82626 KachelY + 1 16198 0.81924161 1.38346827 46.939087 79.266893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38347720-1.38346827) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38347720-1.38346827) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81919368-0.81924161) × cos(1.38347720) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186225590617067 × 6371000     		do = 56.8662243886796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81919368-0.81924161) × cos(1.38346827) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.186234364397262 × 6371000     		du = 56.8689035680108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38347720)-sin(1.38346827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186225590617067-0.186234364397262)×R²
    abs(0.81924161-0.81919368)×8.77378019517594e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.77378019517594e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.77378019517594e-06×40589641000000     		ar = 3235.36802334026m²