Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82624 / 20162
↖ ↑ ↗
← N 77.038186°
E 46.933594°		 ← 68.51 m → N 77.038186°
E 46.936340°		 →
↑
68.49 m
↓
↑
68.49 m
↓
N 77.037570°
E 46.933594°		 ← 68.51 m →
4 692 m²		 N 77.037570°
E 46.936340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630374908447266 y=0.153827667236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630374908447266 × 217)
    floor (0.630374908447266 × 131072)
    floor (82624.5)     		tx = 82624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153827667236328 × 217)
    floor (0.153827667236328 × 131072)
    floor (20162.5)     		ty = 20162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82624 / 20162 ti = "17/82624/20162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82624/20162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82624 ÷ 217
    82624 ÷ 131072     		x = 0.63037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20162 ÷ 217
    20162 ÷ 131072     		y = 0.153823852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    0.2607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81914574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153823852539062 × 2 - 1) × π
    0.692352294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17508888336043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81914574} λ = 0.81914574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17508888336043))-π/2
    2×atan(8.80296752475115)-π/2
    2×1.45768316439272-π/2
    2.91536632878545-1.57079632675     		φ = 1.34457000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81914574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.933594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34457000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.038186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82624 KachelY 20162 0.81914574 1.34457000 46.933594 77.038186
    Oben rechts KachelX + 1 82625 KachelY 20162 0.81919368 1.34457000 46.936340 77.038186
    Unten links KachelX 82624 KachelY + 1 20163 0.81914574 1.34455925 46.933594 77.037570
    Unten rechts KachelX + 1 82625 KachelY + 1 20163 0.81919368 1.34455925 46.936340 77.037570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34457000-1.34455925) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dl = 68.4882499996706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34457000-1.34455925) × R
    1.07499999999483e-05 × 6371000     		dr = 68.4882499996706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81914574-0.81919368) × cos(1.34457000) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224301610202837 × 6371000     		do = 68.5074852795068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81914574-0.81919368) × cos(1.34455925) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224312086277434 × 6371000     		du = 68.510684942343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34457000)-sin(1.34455925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224301610202837-0.224312086277434)×R²
    abs(0.81919368-0.81914574)×1.04760745973653e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04760745973653e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04760745973653e-05×40589641000000     		ar = 4692.06734829539m²