Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82622 / 20227
↖ ↑ ↗
← N 76.998082°
E 46.928101°		 ← 68.70 m → N 76.998082°
E 46.930847°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.997463°
E 46.928101°		 ← 68.70 m →
4 723 m²		 N 76.997463°
E 46.930847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630359649658203 y=0.154323577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630359649658203 × 217)
    floor (0.630359649658203 × 131072)
    floor (82622.5)     		tx = 82622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154323577880859 × 217)
    floor (0.154323577880859 × 131072)
    floor (20227.5)     		ty = 20227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82622 / 20227 ti = "17/82622/20227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82622/20227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82622 ÷ 217
    82622 ÷ 131072     		x = 0.630355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20227 ÷ 217
    20227 ÷ 131072     		y = 0.154319763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630355834960938 × 2 - 1) × π
    0.260711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81904987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154319763183594 × 2 - 1) × π
    0.691360473632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.17197298488512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81904987} λ = 0.81904987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17197298488512))-π/2
    2×atan(8.77558106054119)-π/2
    2×1.4573331828102-π/2
    2.9146663656204-1.57079632675     		φ = 1.34387004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81904987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34387004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.998082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82622 KachelY 20227 0.81904987 1.34387004 46.928101 76.998082
    Oben rechts KachelX + 1 82623 KachelY 20227 0.81909780 1.34387004 46.930847 76.998082
    Unten links KachelX 82622 KachelY + 1 20228 0.81904987 1.34385925 46.928101 76.997463
    Unten rechts KachelX + 1 82623 KachelY + 1 20228 0.81909780 1.34385925 46.930847 76.997463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34387004-1.34385925) × R
    1.07900000001493e-05 × 6371000     		dl = 68.7430900009511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34387004-1.34385925) × R
    1.07900000001493e-05 × 6371000     		dr = 68.7430900009511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81904987-0.81909780) × cos(1.34387004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224983680059723 × 6371000     		do = 68.7014732599496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81904987-0.81909780) × cos(1.34385925) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.224994193418346 × 6371000     		du = 68.7046836404809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34387004)-sin(1.34385925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224983680059723-0.224994193418346)×R²
    abs(0.81909780-0.81904987)×1.05133586231487e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05133586231487e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05133586231487e-05×40589641000000     		ar = 4722.86190538941m²