Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82622 / 14785
↖ ↑ ↗
← N 79.966111°
E 46.928101°		 ← 53.20 m → N 79.966111°
E 46.930847°		 →
↑
53.20 m
↓
↑
53.20 m
↓
N 79.965633°
E 46.928101°		 ← 53.21 m →
2 830 m²		 N 79.965633°
E 46.930847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630359649658203 y=0.112804412841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630359649658203 × 217)
    floor (0.630359649658203 × 131072)
    floor (82622.5)     		tx = 82622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112804412841797 × 217)
    floor (0.112804412841797 × 131072)
    floor (14785.5)     		ty = 14785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82622 / 14785 ti = "17/82622/14785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82622/14785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82622 ÷ 217
    82622 ÷ 131072     		x = 0.630355834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14785 ÷ 217
    14785 ÷ 131072     		y = 0.112800598144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630355834960938 × 2 - 1) × π
    0.260711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.81904987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.112800598144531 × 2 - 1) × π
    0.774398803710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.43284559261747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81904987} λ = 0.81904987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43284559261747))-π/2
    2×atan(11.3912508633346)-π/2
    2×1.48323412737047-π/2
    2.96646825474094-1.57079632675     		φ = 1.39567193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81904987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.928101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39567193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.966111°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82622 KachelY 14785 0.81904987 1.39567193 46.928101 79.966111
    Oben rechts KachelX + 1 82623 KachelY 14785 0.81909780 1.39567193 46.930847 79.966111
    Unten links KachelX 82622 KachelY + 1 14786 0.81904987 1.39566358 46.928101 79.965633
    Unten rechts KachelX + 1 82623 KachelY + 1 14786 0.81909780 1.39566358 46.930847 79.965633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39567193-1.39566358) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dl = 53.1978500006456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39567193-1.39566358) × R
    8.35000000010133e-06 × 6371000     		dr = 53.1978500006456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81904987-0.81909780) × cos(1.39567193) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174230633071446 × 6371000     		do = 53.2034198029144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81904987-0.81909780) × cos(1.39566358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17423885535106 × 6371000     		du = 53.2059305749085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39567193)-sin(1.39566358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174230633071446-0.17423885535106)×R²
    abs(0.81909780-0.81904987)×8.22227961391753e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.22227961391753e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.22227961391753e-06×40589641000000     		ar = 2830.37432998763m²