Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82621 / 20249
↖ ↑ ↗
← N 76.984480°
E 46.925354°		 ← 68.79 m → N 76.984480°
E 46.928101°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.983861°
E 46.925354°		 ← 68.79 m →
4 733 m²		 N 76.983861°
E 46.928101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630352020263672 y=0.154491424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630352020263672 × 217)
    floor (0.630352020263672 × 131072)
    floor (82621.5)     		tx = 82621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154491424560547 × 217)
    floor (0.154491424560547 × 131072)
    floor (20249.5)     		ty = 20249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82621 / 20249 ti = "17/82621/20249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82621/20249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82621 ÷ 217
    82621 ÷ 131072     		x = 0.630348205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20249 ÷ 217
    20249 ÷ 131072     		y = 0.154487609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630348205566406 × 2 - 1) × π
    0.260696411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81900193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154487609863281 × 2 - 1) × π
    0.691024780273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17091837309348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81900193} λ = 0.81900193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17091837309348))-π/2
    2×atan(8.76633110768824)-π/2
    2×1.45721448661562-π/2
    2.91442897323124-1.57079632675     		φ = 1.34363265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81900193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.925354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34363265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.984480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82621 KachelY 20249 0.81900193 1.34363265 46.925354 76.984480
    Oben rechts KachelX + 1 82622 KachelY 20249 0.81904987 1.34363265 46.928101 76.984480
    Unten links KachelX 82621 KachelY + 1 20250 0.81900193 1.34362185 46.925354 76.983861
    Unten rechts KachelX + 1 82622 KachelY + 1 20250 0.81904987 1.34362185 46.928101 76.983861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34363265-1.34362185) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34363265-1.34362185) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81900193-0.81904987) × cos(1.34363265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225214977639649 × 6371000     		do = 68.786451204628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81900193-0.81904987) × cos(1.34362185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225225500164747 × 6371000     		du = 68.7896650546428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34363265)-sin(1.34362185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225214977639649-0.225225500164747)×R²
    abs(0.81904987-0.81900193)×1.05225250982555e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05225250982555e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05225250982555e-05×40589641000000     		ar = 4733.0861582614m²