Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82621 / 20247
↖ ↑ ↗
← N 76.985717°
E 46.925354°		 ← 68.78 m → N 76.985717°
E 46.928101°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.985098°
E 46.925354°		 ← 68.78 m →
4 733 m²		 N 76.985098°
E 46.928101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630352020263672 y=0.154476165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630352020263672 × 217)
    floor (0.630352020263672 × 131072)
    floor (82621.5)     		tx = 82621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154476165771484 × 217)
    floor (0.154476165771484 × 131072)
    floor (20247.5)     		ty = 20247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82621 / 20247 ti = "17/82621/20247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82621/20247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82621 ÷ 217
    82621 ÷ 131072     		x = 0.630348205566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20247 ÷ 217
    20247 ÷ 131072     		y = 0.154472351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630348205566406 × 2 - 1) × π
    0.260696411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.81900193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154472351074219 × 2 - 1) × π
    0.691055297851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17101424689272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81900193} λ = 0.81900193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17101424689272))-π/2
    2×atan(8.76717160944733)-π/2
    2×1.45722528221934-π/2
    2.91445056443868-1.57079632675     		φ = 1.34365424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81900193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.925354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34365424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.985717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82621 KachelY 20247 0.81900193 1.34365424 46.925354 76.985717
    Oben rechts KachelX + 1 82622 KachelY 20247 0.81904987 1.34365424 46.928101 76.985717
    Unten links KachelX 82621 KachelY + 1 20248 0.81900193 1.34364344 46.925354 76.985098
    Unten rechts KachelX + 1 82622 KachelY + 1 20248 0.81904987 1.34364344 46.928101 76.985098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34365424-1.34364344) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34365424-1.34364344) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81900193-0.81904987) × cos(1.34365424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225193942253786 × 6371000     		do = 68.7800264563347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81900193-0.81904987) × cos(1.34364344) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225204464831397 × 6371000     		du = 68.7832403223882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34365424)-sin(1.34364344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225193942253786-0.225204464831397)×R²
    abs(0.81904987-0.81900193)×1.05225776108608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05225776108608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05225776108608e-05×40589641000000     		ar = 4732.64409233301m²