Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8262 / 9503
↖ ↑ ↗
← S 27.664069°
E  1.538086°		 ← 2 163.98 m → S 27.664069°
E  1.560059°		 →
↑
2 163.72 m
↓
↑
2 163.72 m
↓
S 27.683528°
E  1.538086°		 ← 2 163.59 m →
4 681 817 m²		 S 27.683528°
E  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504302978515625 y=0.580047607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504302978515625 × 214)
    floor (0.504302978515625 × 16384)
    floor (8262.5)     		tx = 8262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580047607421875 × 214)
    floor (0.580047607421875 × 16384)
    floor (9503.5)     		ty = 9503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8262 / 9503 ti = "14/8262/9503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8262/9503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8262 ÷ 214
    8262 ÷ 16384     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9503 ÷ 214
    9503 ÷ 16384     		y = 0.58001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.1600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.502762203215149
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.502762203215149))-π/2
    2×atan(0.604857610489009)-π/2
    2×0.543983619431441-π/2
    1.08796723886288-1.57079632675     		φ = -0.48282909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48282909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.664069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8262 KachelY 9503 0.02684466 -0.48282909 1.538086 -27.664069
    Oben rechts KachelX + 1 8263 KachelY 9503 0.02722816 -0.48282909 1.560059 -27.664069
    Unten links KachelX 8262 KachelY + 1 9504 0.02684466 -0.48316871 1.538086 -27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 8263 KachelY + 1 9504 0.02722816 -0.48316871 1.560059 -27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48282909--0.48316871) × R
    0.000339619999999985 × 6371000     		dl = 2163.7190199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48282909--0.48316871) × R
    0.000339619999999985 × 6371000     		dr = 2163.7190199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02722816) × cos(-0.48282909) × R
    0.000383500000000002 × 0.885684960033714 × 6371000     		do = 2163.97502062374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02722816) × cos(-0.48316871) × R
    0.000383500000000002 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 2163.58963710529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48282909)-sin(-0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885684960033714-0.885527227905161)×R²
    abs(0.02722816-0.02684466)×0.000157732128552412×R²
    0.000383500000000002×0.000157732128552412×6371000²
    0.000383500000000002×0.000157732128552412×40589641000000     		ar = 4681817.02510491m²