Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8262 / 4658
↖ ↑ ↗
← N 61.079544°
E  1.538086°		 ← 1 181.56 m → N 61.079544°
E  1.560059°		 →
↑
1 181.69 m
↓
↑
1 181.69 m
↓
N 61.068917°
E  1.538086°		 ← 1 181.95 m →
1 396 472 m²		 N 61.068917°
E  1.560059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504302978515625 y=0.284332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504302978515625 × 214)
    floor (0.504302978515625 × 16384)
    floor (8262.5)     		tx = 8262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.284332275390625 × 214)
    floor (0.284332275390625 × 16384)
    floor (4658.5)     		ty = 4658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8262 / 4658 ti = "14/8262/4658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8262/4658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8262 ÷ 214
    8262 ÷ 16384     		x = 0.5042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4658 ÷ 214
    4658 ÷ 16384     		y = 0.2843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5042724609375 × 2 - 1) × π
    0.008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.02684466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2843017578125 × 2 - 1) × π
    0.431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.35527202605823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02684466} λ = 0.02684466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35527202605823))-π/2
    2×atan(3.87781568008453)-π/2
    2×1.31841773964335-π/2
    2.63683547928671-1.57079632675     		φ = 1.06603915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02684466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.538086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06603915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.079544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8262 KachelY 4658 0.02684466 1.06603915 1.538086 61.079544
    Oben rechts KachelX + 1 8263 KachelY 4658 0.02722816 1.06603915 1.560059 61.079544
    Unten links KachelX 8262 KachelY + 1 4659 0.02684466 1.06585367 1.538086 61.068917
    Unten rechts KachelX + 1 8263 KachelY + 1 4659 0.02722816 1.06585367 1.560059 61.068917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06603915-1.06585367) × R
    0.000185479999999849 × 6371000     		dl = 1181.69307999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06603915-1.06585367) × R
    0.000185479999999849 × 6371000     		dr = 1181.69307999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02684466-0.02722816) × cos(1.06603915) × R
    0.000383500000000002 × 0.483594913391748 × 6371000     		do = 1181.55705459943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02684466-0.02722816) × cos(1.06585367) × R
    0.000383500000000002 × 0.483757254219161 × 6371000     		du = 1181.95369845272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06603915)-sin(1.06585367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.483594913391748-0.483757254219161)×R²
    abs(0.02722816-0.02684466)×0.000162340827412621×R²
    0.000383500000000002×0.000162340827412621×6371000²
    0.000383500000000002×0.000162340827412621×40589641000000     		ar = 1396472.15469537m²