Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82619 / 20250
↖ ↑ ↗
← N 76.983861°
E 46.919861°		 ← 68.78 m → N 76.983861°
E 46.922607°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.983242°
E 46.919861°		 ← 68.78 m →
4 732 m²		 N 76.983242°
E 46.922607°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.630336761474609 y=0.154499053955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.630336761474609 × 217)
    floor (0.630336761474609 × 131072)
    floor (82619.5)     		tx = 82619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154499053955078 × 217)
    floor (0.154499053955078 × 131072)
    floor (20250.5)     		ty = 20250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82619 / 20250 ti = "17/82619/20250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82619/20250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82619 ÷ 217
    82619 ÷ 131072     		x = 0.630332946777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20250 ÷ 217
    20250 ÷ 131072     		y = 0.154495239257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.630332946777344 × 2 - 1) × π
    0.260665893554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.81890606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154495239257812 × 2 - 1) × π
    0.691009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17087043619386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81890606} λ = 0.81890606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17087043619386))-π/2
    2×atan(8.76591088702601)-π/2
    2×1.45720908843559-π/2
    2.91441817687117-1.57079632675     		φ = 1.34362185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81890606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.919861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34362185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.983861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82619 KachelY 20250 0.81890606 1.34362185 46.919861 76.983861
    Oben rechts KachelX + 1 82620 KachelY 20250 0.81895399 1.34362185 46.922607 76.983861
    Unten links KachelX 82619 KachelY + 1 20251 0.81890606 1.34361105 46.919861 76.983242
    Unten rechts KachelX + 1 82620 KachelY + 1 20251 0.81895399 1.34361105 46.922607 76.983242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34362185-1.34361105) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dl = 68.8067999991493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34362185-1.34361105) × R
    1.07999999998665e-05 × 6371000     		dr = 68.8067999991493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.34362185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225225500164747 × 6371000     		do = 68.7753159381145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81890606-0.81895399) × cos(1.34361105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225236022663575 × 6371000     		du = 68.7785291097173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34362185)-sin(1.34361105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225225500164747-0.225236022663575)×R²
    abs(0.81895399-0.81890606)×1.05224988277419e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05224988277419e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05224988277419e-05×40589641000000     		ar = 4732.3199525831m²